2010-2014년 국가수준 학업성취도 평가에서 나타난 고등학생의 수학 학업 특성 분석

수와 연산 영역에서는 ‘복소수’에 관련된 성취기준을 사례로 제시하였다. 다음은 “복소수의 뜻과 그 기본성질을 이해한다.”의 성취기준에 따른 문항과 답지 반응분포를 나타낸 것이다. 네 문항 모두 복소수의 뜻과 기본 성질을 적용할 수 있는지를 묻고 있다. 2010년과 2011년 문항은 i의 의미뿐만 아니라 허수 z=a+bi를 제곱했을 때 실수가 되기 위한 조건을 구하는 문항이다. 2012년 문항은 i²=−1을 적용하는 문항이고, 2013년 3번 문항은 두 복소수의 같을 조건을 이용해 해결하는 문항이다. 그리고 2014년 문항은 켤레복소수의 의미를 이해하고 이를 적용할 수 있는 지 묻고 있는 문항이다. 성취수준별 정답률을 살펴보면, 2010, 2011, 2013년 문항은 우수학력 대표문항이고, 2012, 2014년 문항은 보통학력 대표문항으로 나타났다. 즉 우수학력 수준의 학생들은 복소수의 뜻과 성질에 대한 이해를 기초로 다양한 문제를 해결할 수 있다는 것을 알 수 있고, 보통학력 수준은 i²=−1인 것과 $\overline{a+bi}=a-bi$의 관계를 이해하고 있다는 것을 알 수 있다.

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정리하면, 보통학력 수준의 경우 i²=-1, 켤레복소수를 이해하고 적용할 수 있지만, 복소수가 z=a+bi 형태로 제시되었을 때 z²이 실수가 되는 조건이나 다소 복잡한 식의 계산이 포함된 문항은 잘 해결하지 못하는 것으로 나타났다. 또한 기초학력의 경우에는 복소수의 뜻과 기본성질에 대한 이해가 부족한 것으로 나타났다.

문자와 식 영역에서는 ‘이차부등식’에 관련된 성취기준을 사례로 제시하였다. 다음은 “이차부등식과 연립이차부등식을 풀 수 있다.”의 성취기준에 따른 문항과 답지 반응분포를 나타낸 것이다. 네 문항의 출제의도를 살펴보면, 2010년과 2012년의 문항은 연립이차부등식을 만족시키는 x값의 합을 구할 수 있는지를 묻고 있고, 2011년의 문항은 좌표평면위의 세 점이 주어졌을 때 삼각형의 넓이와 관련된 이차부등식을 해결할 수 있는지를 묻고 있다. 또한 2013년 문항은 x에 대한 이차부등식 x²−3nx+2n²≤0을 만족시키는 자연수 x의 개수가 10이 되도록 하는 자연수 n의 값을 구할 수 있는지를 묻고 있다. 네 문항 중 2010년 문항은 보통학력 대표문항이고 나머지 세 문항은 모두 우수학력 수준의 대표문항으로, 우수학력 수준의 학생들은 이차부등식과 관련된 문항과 연립이차부등식과 관련된 문제를 잘 해결하는 것으로 나타났다. 그리고 보통학력 수준의 경우에는 x에 관한 연립이차부등식을 만족시키는 해는 잘 구하는 것으로 나타났지만, 이차부등식의 해를 활용한 문제는 어려워하는 것으로 나타났다.

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정리하면 보통학력 수준의 경우에는 단순하게 제시된 연립이차부등식의 해는 어렵지 않게 구할 수 있지만, 이차부등식의 성질을 활용하는 문항이나 좌표 평면 위에 주어진 식을 시각화하여 문제를 해결하는 문항은 어려워하는 것으로 나타났다. 이에 기본적인 부등식의 해를 구하는 것 이외에 이차부등식과 연립부등식을 활용하는 다양한 문항에 대한 문제해결력을 제고하는 교수·학습 방안이 요구된다. 또한 기초학력 수준의 경우에는 기본적인 연립이차부등식의 해를 구하는 방법에 대한 이해가 부족한 것으로 나타났다.

기하 영역에서는 ‘평행이동’과 관련된 성취기준을 사례로 제시하였다. 다음은 “평행이동의 의미를 이해한다.”의 성취기준에 따른 문항과 답지 반응분포를 나타낸 것이다. 문항의 내용을 살펴보면, 2010, 2011년, 2014년에는 주어진 원의 방정식과 이차함수의 그래프를 x축과 y축의 방향으로 평행이동한 도형의 방정식과 관련된 문항이고, 2012년은 평행이동한 함수의 그래프를 주고 이전 함수의 그래프를 추론할 수 있는지를 묻고 있다. 위의 네 문항 중 2014년 문항은 보통학력 수준의 대표문항이고, 나머지 세 문항은 우수학력의 대표문항으로 나타났다. 보통학력 수준의 학생들은 2010년 문항과 같이 함수의 그래프를 시각화하는 전략을 사용하거나 2012년 문항처럼 평행이동한 그래프를 보여주면서 평행이동하기 전의 그래프를 가역적으로 추론하는 문항을 어려워했던 것으로 보인다.

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정리하면, 보통학력 수준의 경우에는 함수의 그래프를 활용해 평행이동의 개념을 적용하는 문항을 어려워하고, 기초학력 수준의 경우에는 전체적으로 평행이동한 도형의 방정식과 관련된 문항을 어려워하는 경향이 있는 것으로 나타났다. 따라서 좌표평면에서의 평행이동의 의미를 직관적으로 이해할 수 있는 학습 활동을 제공하고, 이를 기초로 평행이동한 도형의 방정식과 관련된 다양한 문제를 해결할 수 있는 학습 기회를 제공할 필요가 있다.

함수 영역에서는 ‘역함수’와 관련된 성취기준을 사례로 제시하였다. 다음은 “역함수의 뜻을 알고, 역함수를 구할 수 있다.”의 성취기준에 따른 문항과 답지 반응분포를 나타낸 것이다. 2010년 문항은 합성함수의 역함수의 함숫값을 묻고 있고, 2011년 문항은 두 함수의 합성함수가 항등함수일 때 역함수의 함숫값을 구할 수 있는지 묻고 있다. 또한 2012년과 2013년 문항은 주어진 함수와 역함수의 그래프의 관계를 이해할 수 있는지를 묻고 있고, 2014년 문항은 일차함수의 역함수를 구할 수 있는지를 묻고 있다. 다섯 문항 모두 우수학력 수준의 대표문항으로 이 수준의 학생들은 함수 개념에 대한 정확한 이해와 역함수의 뜻에 대한 이해를 기초로 역함수와 관련된 다양한 문제를 해결할 수 있는 것으로 나타났다. 반대로 보통학력 수준은 2014년 문항 과 같이 단순한 역함수의 값을 구하는 문항은 어느 정도 해결하고 있지만 함수의 그래프를 제시하거나 합성함수와 관련된 문항은 어려워하는 것으로 나타났다.

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정리하면, 보통학력 이하 수준의 경우에는 역함수의 뜻을 정확하게 인지하고 있지 않고, 함수와 그 역함수의 그래프의 관계를 잘 이해하고 있지 못한 것으로 나타났다. 이 수준의 학생들에게는 함수와 역함수의 관계를 식으로뿐만 아니라 직관적으로 그래프를 통해 인지시키는 교수·학습 활동을 강조할 필요가 있다.

확률과 통계 영역에서는 ‘경우의 수’와 관련된 성취기준을 사례로 제시하였다. 다음은 “합의 법칙, 곱의 법칙을 이해하고, 이를 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다.”의 성취기준에 따른 문항과 답지 반응분포를 나타낸 것이다.

2011, 2012년 문항은 2013, 2014년 문항보다 단순한 조건을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는지를 묻고 있다. 성취수준별 정답률을 살펴보면 위의 네 문항 중 2011년도 문항은 기초학력 수준의 대표문항, 2012년도의 문항은 보통학력 수준의 대표문항, 2013, 2014년도의 문항은 우수학력 수준의 대표문항인 것으로 나타났다. 2011년과 2012년 문항은 단순한 합의 법칙과 곱의 법칙을 적용하는 문항으로 2011년 문항은 그 해에 가장 높은 정답률을, 2012년 문항은 그해에 두 번째로 높은 정답률을 나타냈다. 반면에 2013년 문항과 2014년 문항은 2011년과 2012년 문항보다 고려해야 할 조건이 다소 복잡해 정답률이 낮게 나온 것으로 판단된다. 경우의 수를 구하는 방법의 복잡성 여부가 정답률에 영향을 주었다고 볼 수 있다.

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정리하면 보통학력 수준은 학생들에게 익숙한 합의 법칙을 이용하는 문항이나 곱의 법칙을 이용하는 문항을 잘 해결하고 있는 것으로 파악되었다. 또한 기초학력 수준은 자연수가 적힌 카드를 활용하는 경우의 수와 같이 합의 법칙을 활용하는 문제는 잘 해결하는 것으로 나타났다. 하지만 상황이 다소 복잡한 문항에서는 정답률이 낮게 나타나, 보통학력 수준 이하의 학생들에게는 합의 법칙과 곱의 법칙과 관련된 다양한 문제 해결 활동을 강화할 필요가 있다.

보통학력 수준이 숙달한 성취기준 및 문항 특성은 <표 IV-1>과 같다. 보통학력 수준의 경우 수와 연산 영역 1개, 문자와 식 영역 2개의 성취기준에 해당하는 문항에서 숙달기준을 충족한 것으로 나타났다.

수와 연산 영역에서는 전체집합과 부분집합의 관계를 이해하고, 이를 토대로 여집합과 차집합의 성질 및 분배법칙과 드모르간의 법칙을 적용하여 문제를 해결할 수 있는 것으로 나타났다. 즉 보통학력 수준은 집합의 연산법칙을 적용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있는 것으로 판단된다. 하지만 “～이기 위한 ～이다.”와 같이 문장으로 제시하고 각 조건의 참과 거짓 여부를 묻는 문항에 대해서는 잘 이해를 하고 있지 못하는 것으로 나타났다. 그리고 i²=−1이라는 사실과 $\overline{a+bi}=a-bi$을 적용할 수 있지만 z=a+bi일 때 z²이 실수가 되는 조건이나 다소 복잡한 식의 계산이 포함된 문항은 잘 해결하지 못하는 것으로 나타났다.

문자와 식 영역에서 다항식의 사칙계산과 관련해서는 다항식의 곱을 전개해서 정리할 수 있고 전개식에서 계수의 의미도 잘 이해하고 있고, 3차 다항식을 2차 다항식으로 나누었을 때의 몫과 나머지도 구할 수 있는 것으로 나타났다. 또한 이차방정식과 관련해서는 이차방정식 ax²+bx+c=0(a≠0)의 근과 계수의 관계에서 두 근의 합은 $-\frac{b}{a}$이고 두 근의 곱은 $\frac{c}{a}$라는 것을 잘 이해하고 있고 이와 관련된 문항도 잘 해결하고 있는 것으로 나타났다. 따라서 보통학력 수준은 다항식의 사칙계산과 이차방식의 근과 계수의 관계에 관련된 문항은 잘 해결할 수 있는 것으로 판단된다. 하지만 이차부등식과 연립이차부등식과 관련된 문항에서는 이차부등식의 성질이나 좌표평면을 활용하여 문제를 해결하는 문항은 어려워하는 것으로 나타났다.

기하 영역에서 보통학력 수준의 학생들은 원의 방정식 또는 함수 y=f(x)의 그래프를 x축, y축 방향으로 평행이동한 원의 방정식을 구하는 것과 수직선 위의 두 점 또는 좌표평면위의 두 점을 외분하는 것에 대해 어려워하고 있는 것으로 나타났다. 그리고 좌표평면에서 중심과 반지름의 주어졌을 때 원의 방정식은 어느 정도 구할 수 있지만 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식을 구하는 문제는 어려워하고 있는 것으로 나타났다.

함수 영역에서는 보통학력 수준의 학생들은 그래프를 보고 역함수의 존재여부를 파악하는 문항과 합성함수를 이용해 역함수의 값을 묻는 문항과 역함수의 그래프를 제시했을 때 이를 가역적으로 해석하는 문항을 어려워하는 것으로 보아 역함수의 의미를 정확하게 이해하고 있지 못하는 것으로 나타났다. 그리고 함수 $y\frac{k}{x}\left(k\ne 0\right)$의 그래프와 $y=\frac{k}{x-p}+q\left(k\ne 0\right)$ 그래프의 관계를 잘 이해하지 못하고 있는 것으로 나타났다.

확률과 통계 영역에서 보통학력 수준의 학생들은 합의 법칙과 곱의 법칙을 적용하는 간단한 경우의 수를 구하는 문제는 잘 해결하는 것으로 나타났지만 상황이 다소 복잡한 경우의 수를 구하는 문항은 잘 해결하지 못하는 것으로 나타났다. 또한 순열과 조합의 수를 구하는 식이 제시되었을 때는 어느 정도 문제를 해결할 수 있지만, 문제 상황이 제시되었을 때 순열과 조합의 수를 구하는 문항은 어려워하는 것으로 나타났다. 순열과 조합의 수를 구하는 식은 인지하고 있지만, 그 식을 주어진 상황에 적용하는 데에는 어려움이 있는 것으로 판단된다.

우수학력의 학업 특성은 ‘수와 연산’, ‘문자와 식’, ‘기하’, ‘함수’, ‘확률과 통계’ 영역 순으로 제시하고자 한다. 보통학력의 학업성취 특성은 우수학력의 학업성취에도 포함되기 때문에 중복해서 기술하지 않았다.

<표 IV-2>는 수와 연산 영역에서 숙달한 성취기준 및 대표 문항의 특성을 나타낸 것이다. 첫째, 우수학력 수준은 두 조건 p, q가 부등식으로 나타내어지고 p가 q이기 위한 충분조건을 묻는 문항을 잘 해결하는 것으로 나타났다. 또한 “p는 q이기 위한 ～조건이다.”와 같이 문장으로 제시하고 각 조건의 참과 거짓 여부를 묻는 문항에 대해서도 잘 해결하는 것으로 나타났다. 즉 p → q가 참이면 p는 q이기 위한 충분조건이고 q→p가 참이면 p는 q이기 위한 필요조건이라는 것을 이해하고 있다는 것을 의미한다. 이는 우수학력 수준이 필요조건과 충분조건의 의미를 이해하고 이를 토대로 문제를 해결할 수 있다고 판단된다. 둘째, 복소수의 뜻과 그 기본성질 관련해서는 i²=−1이라는 사실과 복소수가 a+bi 형태로 이루어져있고 a는 실수부분, b는 허수부분이라는 의미는 잘 이해하고 있는 것으로 나타났다. 또한 z=a+bi일 때 z²이 실수가 되도록 하는 조건과 복소수가 서로 같을 조건도 잘 이해하고 있는 것으로 나타났다. 즉 우수학력 수준의 학생들은 복소수의 뜻과 성질에 대한 이해를 기초로 다양한 문제를 해결할 수 있다고 판단된다.

<표 IV-3>은 문자와 식 영역에서 숙달한 성취기준과 대표 문항의 특성을 나타낸 것이다. 이차부등식과 연립이차부등식과 관련된 문항에서는 각 이차부등식이 인수분해가 되는 비교적 단순한 연립이차부등식의 경우에는 부등식을 만족시키는 해를 잘 구하는 것으로 나타났고, 연립부등식이 직접 주어지지 않고, 삼각형의 넓이를 이용하여 연립부등식을 세워야하는 문항도 어렵지 않게 해결하는 것으로 나타났다. 또한 2013년 문항처럼 이차부등식 x²−3nx+2n²≤0의 해를 이용한 응용문제도 잘 해결하는 것으로 나타났다. 이러한 사실들은 우수학력 수준이 이차부등식과 연립이차부등식 성취기준에 관련된 문항을 해결하는 성취 특성이 있음을 보여주는 것이라고 판단된다.

<표 IV-4>는 기하 영역에서 숙달한 성취기준 및 문항 특성을 나타낸 것이다. 첫째, 평행이동의 의미에 대한 이해를 기초로 해결하는 문항에 대해서 우수학력 수준은 원의 방정식 또는 함수 y=f(x)의 그래프를 x축, y축 방향으로 평행이동한 원의 방정식을 잘 구할 수 있었고, 평행이동한 그래프를 이용해 원래 함수의 함숫값을 구하는 문항도 잘 해결하는 것으로 나타났다. 우수학력 수준은 방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식이 f(x−a, y−b) = 0이라는 것에 대한 이해를 기초로 이와 관련된 문항도 잘 해결할 수 있는 성취능력이 있다고 판단된다. 둘째, 선분의 내분점과 외분점에 관련된 문항에 대해서는 수직선 위의 두 점 또는 좌표평면위의 두 점을 외분하는 것에 대한 문항을 잘 해결하는 것으로 나타났다. 따라서 우수학력 수준은 내분과 외분의 의미와 더불어 내분점과 외분점의 의미를 잘 이해하고 있는 것으로 판단된다. 셋째, 원의 방정식과 관련된 문항에서는 좌표평면에서 중심과 반지름이 주어졌을 때의 원의 방정식과 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식을 잘 구하는 것으로 나타났다. 또한 두 점을 지나고 직선에 접하는 원의 방정식을 구하는 문항도 어느 정도 잘 해결하는 것으로 나타났다. 따라서 우수학력 수준은 원의 방정식 (x−a)²+(y−b)²=r²의 의미를 잘 이해하고 있으며 어떤 조건이 주어졌을 때 원의 방정식을 구하는 문항도 잘 해결할 수 있는 능력이 있다고 판단된다.

<표 IV-5>는 함수 영역에서 숙달한 성취기준 및 대표 문항의 특성을 나타낸 것이다. 첫째, 함수의 합성과 관련된 문항에서, 두 일차함수가 주어졌을 때 함수의 합성함수를 구할 수 있고, 이와 관련된 다양한 문제를 해결할 수 있는 것으로 나타났다. 둘째, 함수의 역함수와 관련된 문항에서는 역함수의 그래프를 보고 역함수의 존재여부를 파악하는 문항과 합성함수를 이용해 역함수의 값을 묻는 문항을 잘 해결하는 것으로 나타났다. 또한 역함수의 그래프를 제시했을 때 원래 함수의 합성함수를 이용해 함숫값을 구하는 문제도 잘 해결하는 것으로 나타났다. 셋째, 분수함수와 무리함수의 그래프 개형과 그래프의 성질, 분수함수와 무리함수 그래프의 관계 이해 등에 관련된 문항을 잘 해결하는 것으로 나타났다.

<표 IV-6>은 확률과 통계 영역에서 나타난 우수학력 대표 문항의 특성을 나타낸 것이다. 첫째, 경우의 수에 관련된 문항에서는 자연수가 적혀 있는 카드를 뽑는 것, 등산로와 관련된 비교적 단순한 상황과 극장의 좌석과 관련된 비교적 복잡한 문제 상황에서 경우의 수를 구하는 문제는 합의 법칙과 곱의 법칙을 적용하여 어렵지 않게 해결하는 것으로 나타났다. 즉 우수학력 수준은 교육과정의 성취기준에 제시되어 있는 합의 법칙과 곱의 법칙에 대한 이해를 기초로 다양한 상황에서 경우의 수를 구할 수 있는 것으로 판단된다. 둘째, 순열과 관련된 내용에서는 _nP₂ + _nP₁=64와 같은 순열의 수를 구하는 공식의 의미를 이해하고 있으며, 숫자가 적혀있는 5개의 공을 4개의 상자에 조건에 맞게 넣거나 5개의 숫자를 이용하여 다섯 자리 수를 만드는 것과 관련된 다소 복잡한 경우의 수를 구하는 문제도 잘 해결하는 것으로 나타났다. 이러한 결과로 보아 우수학력 수준은 순열과 관련된 공식의 의미를 이해하고 있으며 주어진 상황에 맞는 경우의 수도 순열을 구할 수 있는 것으로 판단된다. 셋째, 조합과 관련된 문항에서는 순열과 조합을 구하는 공식을 잘 사용할 수 있고, 서로 평행한 직선으로 만들어지는 평행사변형의 개수를 구하는 문항이나 자연수가 적혀있는 카드가 주어졌을 때의 경우의 수도 어렵지 않게 해결하는 것으로 나타났다. 즉 우수학력 수준은 순열과 조합의 수를 구하는 방법을 구별하여 여러 가지 상황에 적용할 수 있는 것으로 판단된다.