교사들의 통계적 추론 분석

통계적 추론은 자료를 요약하거나 예측하고 자료로부터 결론을 이끌어 내기 위해 통계적 도구와 개념을 이용할 수 있으며, 통계적 결론이 나온 이유나 타당성을 설명할 수 있는 능력을 말한다(delMas, 2002). delMas(2010)에 따르면 통계적 결과가 나온 이유나 타당성을 설명하기 위해서는 자료 산출 및 분석 등의 통계적 문제 해결 과정 전반에 대한 이해가 우선적으로 필요하다. 즉, 통계적 추론은 ‘단순히 자료의 평균이나 중앙값을 구하는 문제'보다 ‘통계적인 질문을 설정하거나 모집단으로부터 자료를 수집하는 방법을 묻는 문제’ 또는 ‘통계적 결론을 이끌어내는데 표본이 미치는 영향을 생각해보도록 하는 문제'를 해결할 때 좀 더 활성화된다(Newton, Dietiker & Horvath, 2011).

한편, Garfield & Franklin(2011)에 따르면 통계적 추론은 통계적인 정보를 이해하거나 통계적인 아이디어를 근거로 판단을 내리는데 필요한 방법적 지식을 활용하는 능력이다. 또한 통계적 추론은 통계적 과정을 이해하고 설명하며 통계적 결과를 해석하는 능력으로, 이는 중심, 퍼짐, 불확실성, 표본, 상관관계 등과 같은 통계적인 아이디어 및 이들 사이의 관계에 대한 개념적 이해를 토대로 한다(Ben-Zvi & Garfield, 2010). Garfield(2002)는 ‘표본의 크기가 클수록 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워지는 이유를 설명’하거나 ‘자료에 특이값(outlier)이 있으면 평균이 중앙값보다 아주 커지거나 아주 작아지는 이유를 설명’하는 능력이 통계적 추론과 관련된다고 하였다. 특히 Rumsey(2002)는 통계적 과정에 대한 이유와 방법을 설명할 때 통계적 추론이 필요하다고 강조하였다.

이상에 따르면 통계적 추론은 자료로부터 결론을 이끌어 낼 때 통계적 도구나 개념을 활용하되, 통계적 결론을 내린 이유나 근거를 자료 산출 및 분석과 같은 통계적 문제 해결 과정에 비추어 설명하는 능력이다. 특히 통계적 추론은 중심, 퍼짐, 불확실성, 표본, 상관관계 등과 같은 통계적인 아이디어에 대한 개념적 이해를 통해 통계적 정보를 해석하거나 결론을 이끌어 내는 능력이며, 통계적 과정에 대한 이유와 방법을 통계적 개념 사이의 관계에 비추어 설명할 수 있는 능력이다.

Garfield(2003)는 고등학생 또는 대학생들의 통계적 개념에 대한 이해 정도 및 통계적 추론의 특징을 알아보기 위하여 SRA를 20개 문항으로 구체화하였다. Garfield(2003)에 따르면 SRA를 통해 학생들이 지닌 통계적 추론의 특징을 살필 수 있을 뿐만 아니라 학생들이 이수하는 통계 교육과정의 효과성도 검증할 수 있다. 이는 Garfield(2003)가 통계 교육의 핵심 목표인 통계적 추론을 ‘자료에 대한 추론’, ‘자료의 표현에 대한 추론’, ‘통계 값에 대한 추론’, ‘불확실성에 대한 추론’, ‘표본에 대한 추론’, ‘상관관계에 대한 추론’의 6가지 요소로 구체화하여 SRA의 개별 문항을 개발하였기 때문이다. 이하에서는 통계적 추론 요소 각각의 의미를 살펴보고 이를 토대로 교사들의 통계적 추론을 기술하기 위한 분석틀을 설정한다.

‘자료에 대한 추론’은 질적 자료나 양적 자료, 이산 자료나 연속 자료를 구별하고 이를 범주화할 수 있으며, 자료의 특징에 따라 표나 그래프, 통계 값의 유형 등이 어떻게 달라지는지 이해하는 능력을 말한다. ‘자료의 표현에 대한 추론’은 자료의 특징을 설명하기 위해 표나 그래프 등을 사용하는 방법을 이해하며 이를 적절히 해석하는 능력을 말한다. 또한 분포의 무작위성 이면에 있는 일반적인 특징을 기술할 때 중심, 퍼짐, 모양 등을 고려하는 능력도 이와 관련된다.

‘통계 값에 대한 추론’은 특정 통계 값으로 자료의 중심 및 퍼짐을 어떻게 가늠할 수 있는지 이해하여 자료의 특징에 따라 어떤 통계 값을 사용하는 것이 적합한지를 설명할 수 있으며 통계 값이 자료를 어떻게 잘 나타내고 그렇지 못한지를 아는 능력과 관련된다. 또한 자료의 특징을 의미있게 설명하기 위해 중심 및 퍼짐에 대한 통계 값을 상보적으로 사용하며, 서로 다른 자료 집합을 비교할 때도 이들이 어떻게 유용한지 이해하는 능력을 말한다.

‘불확실성에 대한 추론’은 무작위성 및 가능성에 대한 아이디어를 바탕으로 불확실한 사건의 확률을 바르게 구하고 이를 해석하여 적합한 통계적 판단을 내리는 능력을 말한다. 또한 사건의 확률을 결정하거나 해석하는데 수형도를 활용하거나 물리적 실험 또는 시뮬레이션을 고안하는 것과 같이 문제 상황에 적합한 모델과 방법을 설정하는 능력과 관련된다.

‘표본에 대한 추론’은 모집단을 대표하는 표본을 선택하는 방법으로 무작위 추출의 의미를 이해하고, 표본의 크기뿐만 아니라 표본을 선택하는 방법에 따라 모집단에 대한 표본의 대표성이 달라짐을 알고 그 이유를 설명할 수 있는 능력을 말한다. 이는 표본이 모집단과 어떻게 관련되는지를 알고 표본의 크기에 따른 표집변이를 이해하여 표본으로부터 모집단의 특징을 유도하는 적절한 방법에 대해 설명하는 능력을 토대로 한다.

‘상관관계에 대한 추론’은 2×2 분할표 등으로 주어진 이변량 자료의 상관관계를 판단하고 해석할 수 있는 능력을 말한다. 또한 이변량 자료 사이에 강한 상관관계가 있더라도 이들 사이에 인과관계가 있는 것은 아님을 이해하는 능력도 이와 관련된다.

Garfield(2003)는 이상의 통계적 추론 요소 중 ‘자료에 대한 추론’과 ‘자료의 표현에 대한 추론’은 나머지 추론 요소의 전반적인 배경이 된다고 설명하였다. 이에 이 연구에서는 교사들의 통계적 추론 특징을 기술하기 위한 분석틀을 ‘통계 값에 대한 추론’, ‘불확실성에 대한 추론’, ‘표본에 대한 추론’, ‘상관관계에 대한 추론’에 주목하여 <표 Ⅱ-1>과 같이 설정하였다.

이하에서는 교사들의 통계적 추론 분석에서 살펴볼 필요가 있는 주요 쟁점을 확인하기 위하여 학생들의 통계적 추론을 분석한 선행연구를 통계적 추론 요소별로 개관한다.

통계 값에 대한 추론과 관련하여 Watson & Callingham(2003)은 자료의 중심에 대한 학생들의 오개념을 다루었다. 학생들 대부분은 자료의 특징을 요약할 때 특이값을 고려하지 않고 평균을 구하며, 평균을 최빈값 또는 중앙값과 혼동하는 경향이 있다. 특히 자료의 특징을 의미있게 설명하기 위해서는 중심과 퍼짐을 상보적으로 고려해야 하지만 많은 학생들이 자료의 평균만을 준거로 사용하는 경향이 있다(Tempelaar, 2004).

불확실성에 대한 추론과 관련하여 Jones & Thornton(2005)은 학생들이 확률을 예측하거나 통계적 판단을 내릴 때 결과적 접근(outcome approach) 전략, 등확률(equiprobability) 전략, 대표성(representativeness) 전략과 같은 부적절한 추론 유형을 보인다고 하였다. 결과적 접근 전략은, 반복하여 일어나는 사건의 분포가 지니는 특징으로 확률을 이해하지 않고 한 번 시행한 결과를 예측하는 도구로 활용하는 것을 말한다. 결과적 접근 전략을 따르는 학생은 사건의 확률을 예측하도록 하였을 때 ‘어떤 결과도 일어날 수 있다’고 답하거나, 확률이 0에 가까우면 그 사건은 일어나지 않는 것으로, 1에 가까우면 확실히 일어나는 것으로 판단한다. 등확률 전략은 무작위 사건에서 발생하는 모든 결과가 일어날 가능성이 항상 같다고 생각하는 것으로, 압정과 같이 물리적으로 비대칭인 물체를 던졌을 때 일어날 수 있는 모든 결과도 일어날 가능성이 같다고 추론하는 것을 말한다. 대표성 전략을 따르는 학생은 모집단의 특징을 얼마나 반영하는지에 따라 사건이 일어날 가능성을 예측하며, 모든 표본은 크기에 관계없이 모집단의 분포를 반영해야 한다고 생각한다. 한편 Langrall & Mooney(2005)는 수학적 확률을 정의하기 어려운 사건에 대해서는 물리적 실험이나 시뮬레이션을 통해 통계적 확률을 고려해야 하지만, 학생들은 수학적 확률을 구하기 위해 이론적 접근을 시도하거나 상대도수로 통계적 확률을 추측할 때도 상대도수의 변이를 고려하지 않는 경향이 있다고 하였다.

표본에 대한 추론과 관련하여 Franklin et al.(2007)은 통계적 문제 해결 과정에서 설정한 질문에 따라 적합한 자료를 수집하는데 많은 학생들이 어려움을 보인다고 하였다. 학생들은 무작위 추출이 모집단을 대표하는 표본을 선택하기 위한 자료 수집 방법임을 이해하지 못하고 무작위 추출한 표본도 편향될 수 있다고 생각하며, 표본이 모집단을 대표하는지 여부를 표본의 크기에만 주목하여 판단한다. Watson(2010)에 따르면 학생들은 작은 표본이나 편향이 있는 표본에서 얻은 결과를 근거로 모집단의 특징을 설명하거나, 표집변이를 지나치게 과대평가하여 전수조사만을 신뢰하는 특징을 보이기도 한다.

상관관계에 대한 추론과 관련하여 Watson & Callingham(2014)은 학생들이 비율적 추론을 활용하지 않고 특정 칸에 있는 절대 도수에만 주목하여 상관관계 유무를 잘못 판단하는 오류를 보인다고 하였다. 노아라, 유연주(2013)에 따르면 학생들은 상관관계와 인과관계를 혼동하여 강한 상관관계를 보이는 이변량 자료 사이에는 인과관계가 존재한다고 생각한다.

이상과 같이 학생들의 통계적 추론을 분석한 선행연구는 통계적 추론 함양을 목표로 하는 수업에서 교사들이 주목하여야 하는 교수학적 쟁점이 무엇인지를 구체적으로 보여준다. 교사들이 이러한 교수학적 쟁점을 염두에 두어 의미있는 통계 수업을 실행할 수 있을지는 이와 관련하여 교사들이 지닌 통계적 추론의 특징에 달려있다고 볼 수 있다. 이에 이 연구에서는 통계적인 정보를 다룰 때 교사들이 보일 수 있는 추론의 특징을 이러한 교수학적 쟁점과 관련하여 우선적으로 살펴보기 위해 SRA 문항의 내용과 선택지를 이에 적합하도록 정교화하였다.

이 연구에서는 교사들의 통계적 추론을 알아보기 위한 검사 도구를 SRA로부터 구체화하였다. 이를 위해 우선 광역시 소재 사범대학 수학교육과 4학년 학생 10명을 대상으로 예비검사를 실시하여 국문으로 번역한 SRA 문항을 피검사자가 이해하는데 어려움은 없는지, 개별 문항에 대한 피검사자의 반응에 특이점은 없는지 등을 살펴보았다. 예비 검사 결과 학생들이 각 문항의 내용을 이해하는데 어려움은 없었으나, Garfield(2003)가 제시한 SRA는 전체 문항이 20개로 다소 많아 문항에 대한 학생들의 반응 집중도가 떨어지는 경향을 보였다. 이에 정답률이 100%에 가까운 문항, 동일한 통계적 추론 요소에 속하는 유사 문항을 제외한 다음, <표 Ⅱ-1>의 분석틀에 비추어 교사들의 통계적 추론을 살피는데 적합한 문항 14개를 SRA에서 선별하였다.

다음으로는 앞서 학생들의 통계적 추론을 분석한 선행연구로부터 확인한 교수학적 쟁점을 토대로 <표 Ⅲ-1>과 같이 교사들이 보일 수 있는 적절한 추론과 부적절한 추론의 유형을 예견하였다. 이러한 추론 유형과 관련하여 교사들이 드러내는 특징을 확인할 수 있도록 SRA에서 선별한 문항의 내용과 선택지를 수정 · 보완하고 문항 7을 직접 개발하여 추가함으로써 지필검사 문항 15개를 구성하였다. 문항 7은 불확실성에 대한 추론과 관련하여 수학적 확률을 정의하기 어려운 상황에서 교사들이 적절한 전략에 따라 사건의 확률을 결정하거나 해석하는지(U2) 알아보기 위한 문항이다.

한편, Garfield & Ben-Zvi(2010)에 따르면 사람들은 하나의 통계적 상황에 대해 다양한 해석을 내리며, 이러한 해석 사이에 갈등이 있을 때도 이를 공유하는 경향이 있다. 이에 이 연구에서는 각 문항에서 교사들이 선택지를 여러 개 고를 수 있도록 하여 정답 하나만을 고르는 경우보다 교사들이 지닌 통계적 추론의 다층적인 양상을 좀 더 구체적으로 살피고자 하였다.

이 연구의 연구대상인 현직 중 · 고등학교 교사 32명은 편의 표집(convenience sampling, 성태제, 2005)을 통해 선정하였다. 연구대상은 2018년 3월 현재 대도시 지역의 학교에 근무하고 있으며 교직 경력은 5～10년이다. 개발된 검사 도구를 활용한 지필검사 결과의 분석은 각 문항의 선택지에 반응한 교사의 인원수를 정리하는 것에서 시작하였다. 이 때 한 교사가 여러 개의 선택지를 고른 경우에는 선택지별 인원수에 각각 포함시켜²⁾ 해당 문항에 대해 교사들이 지닌 추론의 다층적인 양상을 살펴볼 수 있도록 하였다. 지필검사 문항의 선택지는 교사들이 보일 수 있는 적절한 추론과 부적절한 추론 유형을 예견하여 구성한 것인 바, 각 문항의 선택지에 반응한 인원수를 정리함으로써 교사들의 통계적 추론에 대한 전반적인 특징을 알아보았다. 다음으로 이러한 전반적인 특징을 <표 Ⅱ-1>의 분석틀 및 선행연구에 비추어 살펴봄으로써 그 결과를 통계적 추론 요소별로 기술하고, 이로부터 통계 교수-학습과 관련된 교수학적 함의 및 통계 교육에 대한 교사 전문성 개발에의 시사점을 모색하였다.

통계 값에 대한 추론 특징을 알아보기 위한 문항에 대해 선택지별로 교사들이 반응한 인원수를 정리하면 <표 Ⅳ-1>³⁾과 같다.

문항 1에서 교사 19명이 d를 선택하고 문항 15에서 28명이 c를 선택한 것을 볼 때, 교사 대부분은 자료의 특징을 설명하기 위해서는 특이값을 제외한 자료의 평균을 구하는 것이 적절함을 이해하며, 자료의 평균값이 지닌 의미도 타당하게 해석할 수 있는 것으로 보인다(M1). 그러나 문항 1에서 c를 선택한 교사 10명은 평균을 구하는 공식에만 주목하여 모든 자료를 더한 다음 전체 도수로 나누어 자료의 특징을 설명하고자 하였다. 이들은 자료의 중심을 설명하기 위해 평균을 어떻게 사용하는 것이 적합한지에 대해 제한적인 추론을 드러낸 것으로, 특이값에 민감한 평균의 특징을 간과하였다고 볼 수 있다. 또한 문항 15에서 교사 5명은 평균과 중앙값을 혼동하여 a를 선택하였으며, 또 다른 교사 5명은 평균을 최빈값과 혼동하여 d를 선택하였다. 이들은 자료에서 평균보다 큰 값은 전체 자료의 절반이상이라거나 평균은 자료 값에서 가장 많이 나타나는 수라고 추론한 것으로 보인다. Stigler(2016)는 역사적으로 자료를 요약할 때 평균보다는 최빈값이나 중앙값을 선호하는 경향이 있었으며 이는 현대에 들어 평균을 해석하는 학생들의 이해에서도 드러난다고 지적한 바, 일부 교사들도 통계 값으로서 평균을 다룰 때 비슷한 추론 특징을 보였다.

한편 문항 13에서 e를 선택한 교사 26명은 평균의 위치를 추론하여 두 집단을 비교하였다. 이들은 자료의 특징을 살필 때 중심을 나타내는 평균에 좀 더 주목한 것으로(M2), 상당수의 교사들이 Tempelaar(2004)에 참여한 학생들처럼 자료의 특징을 설명하는데 중심에 대한 통계 값을 주요하게 고려하는 특징을 보였다. 또한 몇몇 교사들은 두 집단 비교에서 각 집단의 자료 값을 전체적으로 살피지 않고 최솟값이나 최댓값 같은 특정 자료 값 하나에만 집중하거나(문항 13-a), 80점 이상과 같이 자료 값의 일부만을 활용하였다(문항 13-d). 문항 1에 비해 문항 13처럼 자료의 특징을 설명할 때 어떤 통계 값을 사용해야 하는지가 명시적으로 드러나지 않은 문제 상황에서 교사 대부분은 통계 값에 대한 추론의 한계를 보였다.

불확실성에 대한 추론 특징을 알아보기 위한 문항에 대해 선택지별로 교사들이 반응한 인원수를 정리하면 <표 Ⅳ-2>과 같다.

교사들은 사건의 확률을 구하거나 해석하는데 등확률 전략, 결과적 접근 전략, 대표성 전략과 같은 부적절한 추론을 활용하였다(U1). 문항 2에서 a를 선택한 교사 20명은 ‘5의 눈이 한 개, 6의 눈이 한 개’ 나올 가능성과 ‘5의 눈이 두 개’ 나올 가능성이 같다고 답함으로써 등확률 전략에 따른 추론 특징을 보였으며, 문항 11에서 교사 3명도 등확률 전략을 사용하여 c를 선택하였다. 문항 7에서 a를 선택한 교사 3명은 윷짝의 물리적인 비대칭성을 고려하지 않고, 배가 있는 부분과 등이 있는 부분이 나올 확률을 같다고 간주하는 등확률 전략에 따라 문제 해결을 시도하였다. Pratt(2005)에 따르면 조합을 이용하여 사건이 일어날 확률을 정확히 구할 수 있는 사람들도 등확률 오개념을 극복하기가 어려운데, 이는 확률 교수-학습에서 수학적 확률만을 강조하면서 표본공간을 구성할 때 근원사건이 일어날 가능성을 동등하게 보도록 하는 교육과정의 한계에서 기인한다. Pratt(2005)의 이러한 지적은 교사들이 등확률 전략을 사용하여 사건의 확률을 판단한 이유를 설명해 주는 하나의 가설이 될 수 있다.

문항 3에 대해 비올 가능성이 70%라고 예보된 여러 날 중에서 70%정도에 해당하는 날의 수만큼 비가 오면 예보가 정확한 것으로 볼 수 있다고 추론하여 d를 선택한 교사는 13명이었다. 나머지 교사 19명은 실제 비가 온 날이 100%에 가까울수록 예보가 정확하다고 생각하여 a, b, c를 선택하였는데, 이는 전형적으로 결과적 접근 전략에 의한 추론에 해당한다. 문항 11에서 b를 선택한 교사 15명도 결과적 접근 전략에 따라 주사위에 검정색이 더 많기 때문에 6번 모두 검정색이 나올 확률이 더 크다고 답한 것으로 볼 수 있다. 문항 9에서 b를 선택한 교사 16명도 결과적 접근 전략에 의해 ‘어떤 결과도 일어날 수 있다’고 답한 것으로 보인다. Batanero, Henry & Parzysz(2005)에 따르면 결과적 접근 전략으로 사건의 확률을 다루는 사람은 우연의 무작위적 본성이 작용하는 현상을 인과적으로 분석하여 예측하려는 경향이 있기 때문에 불확실성을 의미있게 다루는데 어려움이 있다.

한편 교사들은 사건의 확률을 해석하는데 표면적으로는 등확률 전략이나 결과적 접근 전략보다 대표성 전략을 적게 사용하였다. 교사들은 문항 8에서 대표성 전략과 관련되는 a, b, d를 거의 선택하지 않았으며 대부분 e를 선택하였다. 그러나 답을 고른 이유에 대해 묻는 문항 9에서 많은 교사들이 c, e를 선택하는 동시에 a, d를 선택하였다. Batanero & Sanchez(2005)에 따르면 a, d와 같은 설명은 크기가 5인 작은 표본도 정상 동전이라는 모집단의 특징을 반영해야 한다는 대표성 전략에서 기인한다. 이는 교사들 대부분이 문항 8에서 ‘네 가지 모두 일어날 가능성이 같다’는 선택지 e를 골랐지만, 그 이유를 대표성 전략이라는 부적절한 추론에 근거하여 제시한다는 것을 보여준다. 한편 문항 9에서 a, d를 선택한 교사들 중에는 ‘각 결과가 일어날 가능성은 정확히 같은 확률 값을 갖는다’인 e를 선택한 교사들이 있었는데, 이들은 문항 8에 제시된 각 사건의 확률을 수학적으로 생각하여 ‘네 가지 모두 일어날 가능성이 같다’를 선택한 것으로 볼 수 있다. 즉, 이 교사들은 교육에 의해 형성된 이차 직관(secondary intuition, Fischbein, 2006)을 토대로 문항 8을 해결하고 그 이유를 수학적으로 설명하는 동시에 대표성 전략이라는 부적절한 추론을 활용하기도 함을 알 수 있다. Fischbein(2006)에 따르면 부적절한 추론을 일으키는 일차 직관(primary intuition)은 교육을 통해 이차 직관으로 재구성될 수 있지만 사라지는 것은 아니며 다른 과제 맥락에서는 다시 등장할 수 있다. 문항 8, 9와 관련된 이상과 같은 결과는 바람직한 통계적 추론을 안정적으로 활성화하기 위해 이차 직관을 개발하는 것이 확률 · 통계 교육의 주요 난제 중 하나이며, 교사들도 이를 성취하는데 상당한 어려움이 있음을 보여준다. 문항 2, 3, 8, 9, 11에 대한 교사들의 반응 결과에 따르면 불확실한 사건의 확률을 구하고 이를 해석하는 교사들의 추론에 다양한 유형의 한계가 있음을 알 수 있다.

교사들은 수학적 확률로는 사건의 확률을 결정하기 힘든 상황에서도 수학적 확률을 구하려고 시도하거나, 상대도수의 변이를 고려하지 않고 통계적 확률로 사건의 가능성을 예측하는 전략을 사용하였다(U2). 문항 7에서 교사 3명은 등확률 전략에 따라 윷짝 1개를 던졌을 때 일어날 수 있는 모든 사건의 가능성이 같다고 보고, 윷을 던져 도가 나올 확률을 동전 4개를 던져 1개가 앞면이 나올 수학적 확률과 같이 접근한 a를 선택하였다. 또한 교사 8명은 윷짝 1개에서 등 부분의 겉넓이와 배 부분의 겉넓이를 고려하여 등이 나올 확률을 수학적으로 다룬 c를 선택하였다. 윷의 확률을 c와 같이 수학적으로 구하려는 시도가 있기는 하나(김미경, 허명회, 1995), Langrall & Mooney(2005)에 따르면 물리적으로 비대칭인 대상을 다루는 상황과 같이 수학적 확률을 결정하기 어려운 과제에서는 시행을 여러 번 반복하여 상대도수를 구하고 이를 통해 사건의 통계적 확률을 추측하는 전략이 불확실한 상황에서 확률을 결정하는 바람직한 방법이다. 다만 어떤 사건이 일어나는 상대도수는 시행을 반복할 때마다 그 값이 달라지므로 상대도수의 변이를 감안하여 적합한 통계적 전략을 세울 필요가 있다. IMP교과서 Integrated Mathematics CourseⅠ에서는 상대도수로부터 통계적 확률을 추측할 때 다음과 같이 유한 번의 실험에서 얻은 여러 상대도수사이의 평균을 이용하도록 안내한다.

Freudenthal(1972)은 시행을 반복하였을 때 상대도수가 안정되는 특징을 많은 학생들이 제대로 파악하지 못한다고 지적하면서 ‘상대도수의 안정성’을 지도하는 전략으로 상대도수의 ‘평균’을 구해보는 활동을 제안하였다. 이상에 따르면 윷짝 1개를 던져서 등이 나올 확률을 실험적으로 추측하기 위해서는 상대도수의 변이를 고려해야 하며, 그 전략으로는 윷짝 1개를 정해진 횟수만큼 던지는 시행을 여러 번 반복하여 상대도수들의 평균을 구해보는 방법이 있을 수 있다. 그러나 문항 7을 실험적으로 다루려는 의도에서 b를 선택한 교사 19명은 상대도수의 변이를 고려하지 않고 한 번의 시행에서 얻은 상대도수를 통계적 확률로 간주하여 문제 해결을 시도하였다.

표본에 대한 추론 특징을 알아보기 위한 문항에 대해 선택지별로 교사들이 반응한 인원수를 정리하면 <표 Ⅳ-3>과 같다.

교사들은 무작위로 추출한 표본이 모집단을 대표한다고 생각하면서도 한편으로는 무작위로 선택한 표본이 편향될 수 있다고 생각하였다. 이는 모집단을 대표하는 표본으로서 무작위 표본이 갖는 의미에 대한 교사들의 추론에 한계가 있음을 보여준다(S1). 문항 10에서 b를 선택한 교사 14명은 구체적인 한 개나 두 개의 사례보다는 무작위 추출한 표본에 근거하여 모집단에 대한 통계적 판단을 내린 것으로, 이들은 무작위 표본이 모집단을 대표한다는 사실을 인지하고 있는 것으로 볼 수 있다. 반면 문항 5에서 c를 선택한 교사 24명은 무작위로 선택한 실험군에 습진이 덜 심한 환자만 몰릴 수 있기 때문에 실험 결과를 신뢰할 수 없다고 하였는데, 이들은 무작위 표본이 편향될 수 있다고 생각한 것으로 보인다. Peck, Gould & Miller(2013)에 따르면 모집단을 대표하는 표본을 선택하는 가장 타당한 방법은 표본을 구성하는 원소를 모집단에서 무작위로 선택하는 것이다. 그 이유는 모집단과 표본 사이에 발생하는 차이를 통계적으로 예측하여 수량화할 수 있기 때문으로, 무작위 표본을 통해 얻은 결론은 모집단으로 확장할 수 있다는 통계적인 전제가 있다. 그러나 상당수의 교사들은 무작위 표본도 편향될 수 있으므로 무작위 표본에서 얻은 결론을 토대로 모집단의 특징을 설명하는 것은 한계가 있다고 추론하였다. 2015 개정 교육과정의 ‘확률과 통계’ 교과는 모집단과 표본의 관련성 및 표본조사의 중요성을 특히 강조하고 있는 바(박경미, 2015), 모집단을 대표하는 표본 선택 방법으로 무작위 추출의 의미를 명시적으로 다루는 교사 교육 프로그램의 실행이 시급하다고 볼 수 있다.

한편 교사들은 표본이 모집단의 특징을 설명하는데 적합한지 여부를 표본 추출 방법보다는 표본의 크기에 좀 더 주목하여 판단하였으며, 특히 표본의 크기가 상당히 커야 모집단을 대표할 수 있다고 생각하였다(S2). 문항 5에서 b를 선택한 교사 29명은 표본의 크기에 주목하여 모집단과 관련된 결론 도출의 타당성을 살핀 것으로 볼 수 있다. 문항 6에서 교사 대부분은 표본 추출 방법과 관련된 쟁점을 다룬 d, e를 선택하면서 동시에 표본의 크기 문제를 지적한 b, c를 선택하였으며, d, e를 선택하지 않고 b, c만을 선택한 교사들도 있었다. 특히 문항 6에서 c를 선택한 교사 14명은 크기가 2,050인 표본도 그 크기가 너무 작다고 판단하였다. 또한 문항 14에서 a를 선택한 교사 15명은 무작위로 추출한 초등학생 500명이 모집단을 대표하기에 너무 작은 표본이라고 주장하였다. Peck, Gould & Miller(2013)에 따르면 적절한 표집 방법에 의해 추출한 작은 표본은 부적절한 표집 방법에 의해 추출한 큰 표본보다 모집단의 특징을 밝히는데 적합하므로 표본으로부터 모집단에 대한 결론을 이끌어 낼 때는 표본의 크기보다 표집 방법에 좀 더 주목하는 것이 타당하다. 그러나 이 연구에 참여한 교사들은 모집단에 대한 표본의 대표성을 표본 추출 방법보다 표본의 크기에 비추어 살피는 추론 유형을 보였다.

이처럼 교사 대부분이 표본의 크기에 주목하여 모집단에 대한 결론의 타당성을 판단하였으나 일부 교사들은 특수한 사례에서 얻은 결론을 통해 모집단의 특징을 유도하거나 표본조사 결과를 통계적 판단을 내릴 때 전혀 고려하지 않는 모습을 보였다. 문항 10에서 a를 선택한 교사 15명은 크기가 아주 작고 편향이 있는 표본을 근거로 모집단에 대한 결론을 이끌어 내었으며, c를 선택한 교사 3명은 표본조사 결과가 주어졌음에도 ‘어떤 것이든 일어날 수 있다’는 결과적 접근 전략에 따라 동전 던지기를 통해 통계적인 결정을 내리는 것이 좋겠다고 추론하였다. 이러한 추론은 Watson & Moritz(2000)가 제시한 표본 및 표집에 대한 개념 발달 3수준 중 1수준에 속하는 추론 유형으로, 교사들 중 일부는 표본에 대한 추론에 상당한 한계를 지닌 것으로 볼 수 있다.

또한 몇몇 교사들은 표본을 통해 모집단의 특징을 추측하는 표본조사의 아이디어에 대해 제한적인 이해를 보였으며, 교사 대부분은 표집변이를 해석하는데 어려움을 겪었다(S3). 문항 6에서 a를 선택한 교사 9명은 표본을 통해 얻은 값은 모집단과 관련하여 구하고자 하는 값의 추정 값일 뿐이므로 의미가 없으며, 모집단의 특징을 알기 위해서는 전수조사가 필요하다고 지적하였다. 전수조사만을 신뢰하는 이상과 같은 추론은 Watson(2010)에서 특이한 사례로 소개되었지만 이 연구에서는 적지 않은 교사들이 이와 같은 특징을 보였다. 한편 표본을 여러 번 선택할 때 표본 통계량이 어떻게 달라지는가에 대한 교사들의 추론 특징을 알아보기 위한 문항 12에서 아주 적은 수의 교사만이 적절한 추론 유형을 보였다. 병원에서 태어나는 여자 신생아의 비율을 표본 통계량이라고 보면, 이는 표본의 크기가 클수록 모비율인 0.5에 확률적으로 수렴하게 된다. 큰 수의 법칙에 대한 이해와 관련되는 이러한 추론에 따르면(Stohl, 2005), 문항 12에서는 b를 선택하는 것이 적절한 통계적 판단이라고 볼 수 있다. 그러나 b를 선택한 교사 9명 중 2명만이 그 이유에 대해 ‘표본의 개수가 작아서 변이성이 높을 것 같다’처럼 큰 수의 법칙과 관련된 설명을 제시하였다. b를 선택한 이유를 기술한 나머지 교사 4명은 큰 수의 법칙에 대한 개념적 설명 대신에 [그림 Ⅳ-1]과 같이 수식을 사용하여 그 이유를 제시하였으나 부등식의 좌변과 우변의 값을 어떻게 비교하였는지는 분명하지 않다.

그림 Ⅳ-1. 문항 12에서 b를 선택한 교사의 이유 예시

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Stohl(2005)에 따르면 대부분의 교사들은 수학을 계산 위주로 지도하려는 경향이 있기 때문에 확률 · 통계 영역에서 다루는 개념적인 아이디어를 설명하는데 어려움을 겪는다고 지적한 바, [그림 Ⅳ-1]과 같은 이유를 제시한 교사들이 큰 수의 법칙을 어떻게 이해하고 있는지에 대한 후속연구가 필요해 보인다.

한편, 문항 12에서 교사 12명은 표본의 크기가 50이든 10이든 여자 신생아가 80%이상 태어날 가능성은 같다고 생각하여 c를 선택하였다. 교사 5명은 c를 선택한 이유에 대해 ‘남자 신생아와 여자 신생아가 태어날 확률은 일반적으로 같다’고 제시한 바, 이들은 대표성 전략에 따라 신생아 모집단의 남녀 비율이 모든 표본에 반영되어야 한다고 추론한 것으로 보인다. 또한 a를 선택한 교사 11명 중 이유를 작성한 6명은 ‘표본의 크기가 크기 때문’에 여자 신생아가 80%이상 태어날 가능성은 병원 A에서 더 높다고 하였다. Pratt(2005)는 많은 학생들이 표본의 크기가 커지면 자료의 변이성도 함께 커진다는 잘못된 판단을 한다고 지적하면서, 무작위성의 특징을 설명해 주는 큰 수의 법칙에 대한 적절한 지도가 시급하다고 역설한 바 있다. 표본을 여러 번 선택할 때 표본 통계량이 달라지는 양상을 큰 수의 법칙에 대한 개념적 이해에 비추어 해석할 수 있는지를 살피는 문항 12에 대해 교사들 대다수가 표본의 크기에 따른 표집 변이성을 적절하게 추론하지 못한 것을 볼 때, 큰 수의 법칙을 다루는 교과서 및 수업 상황에 대한 구체적이고 실제적인 연구가 필요해 보인다.

상관관계에 대한 추론 특징을 알아보기 위한 문항에 대해 선택지별로 교사들이 반응한 인원수를 정리하면 <표 Ⅳ-4>와 같다.

교사 대부분은 2×2 분할표로 제시된 이변량 자료의 상관관계를 비율적 추론에 따라 적절히 판단하였지만, 일부 교사들은 실험군과 대조군에서 습진 치료 효과를 비교할 때 특정 칸의 절대 도수에만 주목하였다(A1). 문항 4에서 ①을 선택한 교사 23명 중, 문항 4(1)에서 적절한 비율적 추론에 따라 d를 선택한 교사는 16명이었다. 문항 4에서 이변량 자료의 상관관계를 부적절하게 판단하여 ②를 선택한 교사 9명은 한 개 또는 두 개 칸의 절대 도수에만 주목하여 문항 4(2)에서 a, b, c를 선택하였다. 또한 문항 5에서 a를 선택한 교사 8명은 실험군과 대조군의 수가 다르기 때문에 두 집단을 비교할 수 없다고 한 바, 이들도 두 집단 비교에서 절대 도수를 주요하게 고려한 것으로 볼 수 있다. Watson & Callingham(2003)에 따르면 이상과 같은 전략은 2×2 분할표로 주어진 이변량 자료의 상관관계에 대해 하 수준의 추론 유형에 해당한다.

한편 일부 교사들은 상관관계가 있는 이변량 자료에는 인과관계가 있다고 생각하였다(A2). 문항 14에서 교사 3명과 4명은, TV시청 시간과 학교 성적 사이에 상관관계가 있다는 설명을 TV시청 시간과 학교 성적 사이에 인과관계가 있다는 설명으로 해석하여 각각 b와 e를 선택하였다. 여러 연구(Batanero & Sanchez, 2005; 노아라, 유연주, 2013)는 상관관계를 인과관계와 혼동하는 것이 상관관계 이해와 관련하여 학생들이 보이는 전형적인 오개념이라고 지적하면서 교사들은 상관관계를 지도할 때 이 점에 유의하도록 권고하였다. 상관관계에 대해 학생들과 유사한 오개념을 지닌 교사들은 실제 수업 상황에서 학생들의 오개념에 적절히 대처할 수 없을 것이므로, 교사들이 자신의 오개념을 극복할 수 있도록 하는 구체적인 조치가 교사 교육과정을 통해 실행될 필요가 있다.