국가수준 학업성취도 평가 결과와 연계한 서답형 답안 반응 유형 분석¹⁾- 2015년 고등학교 수학과 국가수준 학업성취도 평가 중심으로-

<표 Ⅳ-1>에서는 서답형 1번의 학생 답안 유형을 5개로 분류하여 각 유형의 빈도와 비율을 제시하고 있다.

유형 1은 풀이 과정 중 간단한 집합과 원소의 포함관계에 관한 식을 이용하거나, 벤 다이어그램을 이용하여 옳게 답한 경우이다. 전체집합 $U$와 두 부분집합 $A,B$ 사이의 관계를 이해하며 $A=\{\mathrm{1,3},4\}$와 $A\cap B=\left\{1\right\}$을 통해 $1\in B$이고 $3\notin B$, $4\notin B$라는 것을 알고, 조건 $n\left(B\right)=2$를 통해 집합 $B$를 모두 옳게 나타낸 경우로 5,845개(78.27%)의 답지가 해당된다. [그림 Ⅳ-1]의 문제해결 과정 사례를 보면, 각각 식을 이용해 답을 구한 경우와 벤 다이어그램을 이용해 답을 구한 경우에 해당한다. 유형 1과 같은 답안의 예로는, ‘$B=\left\{\mathrm{1,2}\right\},B=\left\{\mathrm{1,5}\right\}$’, ‘$B=\left\{\mathrm{2,1}\right\}$,$B=\left\{\mathrm{5,1}\right\}$’등이 있다.

그림 Ⅳ-1. 서답형 1번의 유형 1에 대한 문제해결 과정 사례 (이인호 외, 2016)

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유형 2와 유형 3은 $A\cap B=\left\{1\right\}$ 또는 $n\left(B\right)=2$ 의 조건을 적어도 하나는 풀이에 적용하지 못한 경우이다.

유형 2는 398개(5.33%)의 답안으로 적어도 하나의 답안이 $\left\{\mathrm{2,5}\right\}$를 부분집합으로 갖는 경우이다. 유형 2는 1점 또는 0점을 받은 오답이지만 비교적 높은 비율로 나타나고 있다는 점에서 주목해 볼 만 하다. 유형 2의 답안을 보이는 학생들은 전체 집합$U$에서 집합 $A=\{\mathrm{1,3},4\}$를 빼고 남은 원소 $\left\{\mathrm{2,5}\right\}$를 이용하여 집합의 원소들을 구성한 것으로 보인다. [그림 Ⅳ-2]의 문제해결 과정 사례를 보면, 유형 2와 같이 답한 학생들은 $A\cup B=U$ 라는 오개념을 가지고 접근한 것으로 보인다. $$에도 원소가 존재 할 수 있다는 사실에 다양한 문제를 풀어보며 더 익숙해질 필요가 있다.

그림 Ⅳ-2. 서답형 1번의 유형 2에 대한 문제해결 과정 사례 (이인호 외, 2016)

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유형 3은 전체집합 $U$가 아닌, 문제에 주어진 집합 $A=\{\mathrm{1,3},4\}$에서 집합 $B$를 찾은 경우로 306개(4.10%)의 답안이 해당된다.

그림 Ⅳ-3. 서답형 1번의 유형 3에 대한 문제해결 과정 사례 (이인호 외, 2016)

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유형 2와 유형 3과 같은 오답의 형태로 답한 학생들이 교집합 ($A\cap B$)의 개념이나 원소의 개수 ($n\left(B\right)=2$)의 개념을 전혀 모른다고 정의 할 수는 없다. 유형 2의 문제 해결 과정의 사례를 보면, 벤 다이어그램의 집합$A$와 $A\cap B$의 위치에 맞게 원소를 넣었으나, $n\left(B\right)=2$의 조건을 함께 활용하지 못한 경우이다. 또, 유형 3의 문제해결 과정의 사례를 보면, $A\cap B$의 개념을 옳게 적용하지는 못하였으나 $n\left(B\right)=2$의 조건은 해석할 수 있는 경우이다. 유형 2와 유형 3의 형태로 답한 학생의 대부분은 문제에서 제시한 두 조건을 적절하게 활용하지 못한 경우로 판단된다.

이 밖에 유형화가 어려운 응답은 325개(4.35%)이며, 무응답의 경우는 594개(7.95%)로 나타났다.

[그림 Ⅳ-4]는 서답형 1번의 유형별 빈도 곡선(왼쪽)와 비율 분포 곡선(오른쪽)을 나타낸 그래프이다.

그림 Ⅳ-4. 2015년 고등학교 수학과 서답형 1번：유형별 빈도 분포와 비율 분포

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서답형 1번 문항은 80.48%의 비교적 높은 정답률을 보이고 있지만, 기초학력 수준 이하의 학생들은 여전히 문제해결에 어려움을 가지고 있다. 이는 기초학력 수준의 학생들이 연산의 정의에 따라, 집합 $A$와 집합 $B$가 주어진 경우 $A\cap B$를 구하는 것은 비교적 쉽게 느끼지만 $A\cap B$로부터 집합 $B$를 추론하는 데는 어려움을 겪는 것으로 판단된다. 또한 이 학생들은 역으로 추론하는 능력도 부족할 뿐만 아니라 집합의 기호에도 익숙하지 않는 것으로 보인다. 따라서 다양한 유형의 문제를 해결하는 상황을 제시해 주면서 추론 능력을 키울 수 있도록 지도해야 하며, 집합에서 등장하는 여러 가지 용어의 의미를 단순하게 암기하게 하는 것이 아니라 벤 다이어그램 등을 통해 수학적 기호를 시각화 하여 집합의 여러 가지 기호들의 시각적 이해가 가능하도록 하는 교수·학습 방안이 필요하다.

<표 Ⅳ-2>에서는 서답형 2-(1)번의 학생 답안 유형을 5개로 분류하여 각 유형의 빈도와 비율을 제시하고 있다.

유형 1은 정답으로 $a=3$과 $d=2$를 모두 바르게 쓴 경우이다. 문제해결 과정 사례를 보면 정답을 쓴 학생들은 크게 두 가지 방법으로 문제를 해결 한 것으로 보이는데, 등차중항을 이용하여 $a$값을 구한 후 주어진 문제의 각항에 대입하여 $d$의 값을 도출해 낸 경우와 $a_2-a_1=a_3-a_2=d$ 라는 등차수열의 기본 정의로부터 $a$와 $d$를 연립 방정식으로 구한 경우가 있었다. [그림 Ⅳ-5]은 그 두 가지 풀이방법을 보여주는 문제해결 과정 사례이다.

그림 Ⅳ-5. 서답형 2-(1)번의 유형 1에 대한 문제해결 과정 사례

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[그림 Ⅳ-6]의 유형 2와 유형 3은 부분점수 1점을 받은 경우로 각각 $a$값을 옳게 쓰거나 $d$값을 옳게 쓴 경우에 해당된다. 유형 2는 $a=3$은 옳게 쓰고 $d$를 구하지 못한 경우로 130개(1.74%)의 답안이 해당되며 답안의 예로는 ‘$a=3,d=4$’, ‘$a=3,d=3$’등이 있다. 유형 3은 $d=2$는 옳게 쓰고 $a$값이 옳지 않은 경우로 163개(2.18%)의 답안이 해당되며 ‘$a=1,d=2$’, ‘$a=5,d=2$’ 와 같은 예가 있다.

유형 2와 유형 3의 문제 해결 과정의 사례를 보면 등차중항의 정확한 원리나 개념을 알지 못하고, 단순히 같은 수를 더하고 뺀다는 등차수열의 기본적인 개념만을 인지하고 있다고 판단된다. 등차수열에서 다음 수를 예측하는 것은 익숙하지만, 세 항만 주어진 경우에 공차를 찾기 힘들어 하며, 숫자를 문자로 변환하기 힘들어 하는 학생들은 문자로도 등차수열이 가능하다는 것을 이해하지 못하여 어려움을 겪는 것으로 보인다.

그림 Ⅳ-6. 서답형 2-(1)번의 유형 2와 유형 3에 대한 문제해결 과정 사례 (이인호 외, 2016)

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이 밖에 유형화가 어려운 응답은 742개(9.94%)이며, 무응답의 경우는 1,242개(16.63%)로 나타났다.

[그림 Ⅳ-7]은 서답형 2-(1)번의 유형별 빈도 곡선(왼쪽)와 비율 분포 곡선(오른쪽)을 나타낸 그래프이다.

그림 Ⅳ-7. 2015년 고등학교 수학과 서답형 2-(1)번의 유형별 빈도 분포와 비율 분포 (이인호 외, 2016)

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서답형 2-(1)번의 오답 유형을 살펴볼 때, 등차수열의 개념을 다양한 각도로 제공할 필요가 있다고 판단된다. 여러 가지 수가 나열된 수열 뿐 만 아니라, 항의 개수가 3개인 경우에도 각 항들 간의 관계 또는 등차중항을 통해 공차를 찾을 수 있고, 역으로 공차를 통해 각 항의 값을 유추할 수 있도록 세심한 지도가 필요하다. 특별히 이 과정에서 숫자뿐만 아니라 문자로 표현된 수열도 익숙해 질 수 있도록 다양한 수열의 모양들을 제시하는 등의 교수·학습 방법의 보완이 필요하다.

<표 Ⅳ-3>에서는 서답형 2-(2)번의 학생 답안 유형을 6개로 분류하여 각 유형의 빈도와 비율을 제시하고 있다.

유형 1의 형태로 반응한 답안은 2,648개(35.46%)이다.

그림 Ⅳ-8. 서답형 2-(2)번의 유형 1에 대한 문제해결 과정 사례

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유형 2는 등차수열의 일반항 $a_n$은 옳게 구했지만 등차수열의 합인 $S$를 구하지 못한 경우로 647개(8.66%)의 답안이 해당되며 그 예로는, ‘$a_n=2n+1,S=110$’, ‘$a_n=2n+1,S=121$’ 등이 있다. [그림 Ⅳ-9]의 문제해결 과정 사례에서는 $a_n$에 대한 공식은 잘 적용하여 맞게 풀었지만, $S_n$의 공식은 옳게 적용하지 못한 것으로 보인다. 유형 2의 답안을 보이는 학생들은 공식을 적용하는 과정에서 단순한 계산 실수인 경우도 존재하지만 합의 공식에 익숙하지 않아 오류를 보이는 경우도 많이 존재하였다.

그림 Ⅳ-9. 서답형 2-(2)번의 유형 2에 대한 문제해결 과정 사례

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유형 3은 $a_n$을 바르게 구하지 못하였지만 그 합인 $S=120$은 옳게 쓴 경우로 538개(7.20%)의 답안이 해당된다. 유형 3에서는 5개의 답안만을 제외한 533개(99.07%)개의 답안이 서답형 2-(1)번에서 2점을 얻은 유형 1의 경우로, 많은 문제해결 과정 사례에서 일반항의 공식은 숙지하지 못해 $a_n$을 구하지는 못하였지만 서답형 2-(1)번에서 구한 $a=3$과 $d=2$를 토대로 제$1$항부터 제$10$항까지 모든 항을 구하여 더한 것으로 나타났다. 이와 같은 경우의 자세한 사례는 ‘4. 서답형 2-(1)번과 서답형 2-(2)번의 답안 유형 사이의 관계’ 에서 더 자세히 제시하도록 하겠다.

유형 4는 $a_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내기는 하였으나 오답인 경우로 827개(11.48%)의 답안이 해당된다. 유형 4는 0점의 답안이지만 비교적 높은 성취수준의 학생들이 많이 분포되어 있다. 유형 4에 대해서는 다음 페이지에서 더욱 세분화하여 분류하였다.

이 밖에 유형화가 어려운 응답은 999개(13.38%)이며, 무응답의 경우는 1,809개(24.22%)로 나타났다.

[그림 Ⅳ-10]은 서답형 2-(2)번의 유형별 빈도 곡선(왼쪽)과 비율 분포 곡선(오른쪽)을 나타낸 그래프이다. [그림 Ⅳ-10]의 비율 그래프를 보면 1점을 받은 답안인 유형 3보다 0점을 받은 유형 4의 답안의 학생들이 더 높은 성취수준에 분포하고 있는 학생임을 알 수 있다. 유형 4는 보통학력 뿐만 아니라 우수학력에서도 비교적 높은 비율을 차지했다.

그림 Ⅳ-10. 2015년 고등학교 수학과 서답형 2-(2)번의 유형별 빈도 분포와 비율 분포(이인호외, 2016)

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<표 Ⅳ-4>에서는 서답형 2-(2)번의 유형 4에 대한 학생의 답안 유형을 좀 더 세분화 하여 4개로 분류하여 제시하고, 각 세부유형의 빈도와 비율을 제시하고 있다. 유형 4는 $a_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내기는 하였으나 오답인 경우이다. 유형 4가 총 2점의 점수 중 부분점수도 얻지 못한 0점의 답안임에도 불구하고 좀 더 유의미하게 분류하고 세분화한 이유는 유형 4의 답안이 일반항을 $n$에 대한 식으로 표현할 수 있거나, $a_n$과 $S$의 공식을 암기하고 있거나, 일반항을 통해 등차수열의 합까지 구할 수 있는 답안이기 때문이다.

유형 4-1은 등차수열의 일반항 $a_n$과 합 $S$의 공식을 암기하고 공식을 이용하여 나타낼 수 있지만 $a=3$, $d=2$ 그리고 $n=10$을 부분적으로만 대입하거나 대입하지 않은 경우로 176개(21.28%)의 답안이 해당된다. 유형 4-1의 답안으로는 ‘$a_n=a+\left(n-1\right)d,$$S=10a+45d$’ 와 같은 예 가 있다. 유형 4-1의 답안은 $a_n$과 $S$를 구하는 공식을 암기하고 있지만, 서답형 2-(1)번에서 얻은 정보와 제시된 조건을 활용하지 못한 경우이다. [그림 Ⅳ-11]의 문제해결 과정 사례를 보면 등차수열의 일반항 $a_n$와 합 $S$의 공식만 암기하고 $a$와 $d$의 값을 대입하지 못한 경우이다.

그림 Ⅳ-11. 서답형 2-(2)번의 유형 4-1에 대한 문제해결 과정 사례

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유형 4-2는 ‘$a_n=a+\left(n-1\right)d,$$S=a+9d$’ 와 같이 $a_n$의 공식을 나타낼 수 있지만 $a=3,d=2,n=10$의 값을 부분적으로만 대입하거나 대입하지 않았고, $S$도 옳지 못한 경우로 202개(24.43%)의 답안이 해당된다. 유형 4-2의 답안은 유형 4-1의 답안과 유사하지만 $a_n$을 이용하여 $S$의 값에 도달하지 못하는 경우이다.

유형 4-3은 수열 $\left\{a_n\right\}$의 일반항을 구하는 과정에서 $n$에 대한 옳지 않은 식으로 구하여 $S$까지 오답이나, $a_n$에서 $S$를 구하는 과정이 옳게 풀이 된 경우로 82개(9.92%)의 답안이 해당된다. [그림 Ⅳ-12]의 문제해결 과정 사례는 서답형 2-(1)번에서 $a=3$, $d=2$ 모두 옳게 구했고 $a_n=3n-1$은 옳지 않았지만, 그 $a_n$을 이용해 구한 $S=155$의 풀이과정은 옳은 경우이다.

이 밖에도 유형 4-3의 답안의 예로는 $a=3,r=2$로 갖는 등비수열의 일반항과 등비수열의 합으로 구한 ‘$a_n=3‧2^{n-1},S=3069$’와 같은 답안이 있었다.

이 밖에 유형화가 어려운 응답은 367개(44.38%)로 나타났다.

그림 Ⅳ-12. 서답형 2-(2)번의 유형 4-3에 대한 문제해결 과정 사례 (이인호 외, 2016)

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[그림 Ⅳ-13]은 유형 4의 전체 답안 827개를 대상으로 한 성취도 점수에 따른 서답형 2-(2)번의 유형 4의 세부유형 빈도 곡선을 나타낸 그래프이다. 그래프를 보면 유형 4는 대부분이 보통학력 이상의 학생들로 구성되어 있음을 알 수 있고, 유형 4-1이나 유형 4-3에 비교적 높은 성취수준의 학생들이 많이 분포하는 것을 볼 수 있다.

그림 Ⅳ-13. 2015년 고등학교 수학과 서답형 2-(2)번의 유형 4의 세부유형별 빈도 (이인호 외, 2016)

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<표 Ⅳ-5>에서는 서답형 2-(1)번의 각 유형에 대하여 서답형 2-(2)번에서 어떤 유형의 답을 하였는지의 빈도와 비율을 나타낸 것이다. 서답형 2-(2)번은 서답형 2-(1)번에서 구한 값을 이용해야만 올바른 답을 구할 수 있는 문제로, 서답형 2-(1)번과 서답형 2-(2)번의 답안 유형 사이의 관계에서 주목하여 볼만한 두 가지 유형을 분석해 보았다.

가. 유형 ㉮ : 서답형 2-(1)번에서 유형 1, 서답형 2-(2)번에서 유형 2로 답한 경우

서답형 2-(1)번의 유형 1은 $a=3$, $d=2$를 모두 옳게 쓴 경우이며, 서답형 2-(2)번의 유형 2는 $a_n$의 값은 옳게 구했지만 $S$를 구하지 못한 경우로 635개(12.23%)의 답안이 해당되며 그 예로 ‘$a=3$, $d=2$, $a_n=2n+1$, $S$는 무응답’, ‘$a=3$, $d=2$, $a_n=2n+1$, $S=105$’ 등이 있다. 문제해결 과정 사례를 보면 이와 같은 유형의 학생들은 주어진 조건을 이용하여 $a$와 $d$의 값을 구하였지만 등차중항을 이용하지 않고 $a_1+d=a_2$, $a_2+d=a_3$등과 같이 등차수열의 정의만을 이용해 구한 경우가 많았다. 또, $a$와 $d$값을 이용하여 공식을 통해 $a_n$을 구할 수 있었고 합의 공식도 이용하려고 시도했지만, 조금 더 복잡한 합의 공식까지는 정확히 학습하지 못한 것으로 보인다.

그림 Ⅳ-14. 서답형 2번의 유형 ㉮에 대한 문제해결 과정 사례

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나. 유형 ㉯ : 서답형 2-(1)번에서 유형 1, 서답형 2-(2)번에서 유형 3으로 답한 경우

서답형 2-(1)번의 유형 1은 $a=3$, $d=2$를 모두 옳게 쓴 경우이며, 서답형 2-(2)번의 유형 3은 $a_n$을 바르게 구하지 못하였지만 그 합인 $S=120$은 옳게 쓴 경우로 538개(10.27%)의 답안이 해당된다. 주목할 만 한 점은 유형 3에서는 5개의 답안만을 제외한 533개(99.07%)의 답안이 서답형 2-(1)번에서 2점을 얻은 유형 1의 경우로, 많은 문제해결 과정 사례에서 일반항의 공식은 숙지하지 못해 $a_n$을 바르게 구하지는 못하였지만 [그림 Ⅳ-15]의 문제해결 과정 사례에서 보이는 바와 같이 서답형 2-(1)번에서 구한 $a=3$,과 $d=2$를 토대로 제$1$항부터 제$10$항까지 모든 항을 구하여 더한 것으로 나타났다. 이와 같은 학생들은 전체의 약 7%에 해당하는 학생으로 총 4점의 배점 중 3점을 얻었지만 수열의 일반항의 공식과 합의 공식을 제대로 알지 못하고 있다.

그림 Ⅳ-15. 서답형 2번의 유형 ㉯에 대한 문제해결 과정 사례 (이인호 외, 2016)

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[그림 Ⅳ-16]은 서답형 2-(1)번의 유형 1에 대한 서답형 2-(2)번의 유형 2와 유형 3의 성취도 점수에 따른 빈도를 나타낸 그래프이다. 서답형 2-(2)번의 유형 2와 유형 3은 모두 1점에 해당하고, 서답형 2-(1)번의 유형 1은 2점으로 유형 ㉮와 유형 ㉯는 모두 3점으로 같다. 하지만 서답형 2-(2)번에서 항이 10개 밖에 되지 않아 $S$의 값을 구하는 것이 일반항인 $a_n$의 값을 구하는 것보다 비교적 쉽다는 점에 기인해 유형 ㉮의 곡선이 유형 ㉯의 곡선보다 전체적으로 성취수준이 더 높은 학생들의 범위에 분포되어 있다는 것을 볼 수 있다.

그림 Ⅳ-16. 2015년 고등학교 수학과 서답형 2-(2)번의 유형 ㉮와 유형 ㉯에 대한 답안 유형별 빈도 (이인호 외, 2016)

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수열은 수학Ⅱ에서 많은 학생들이 어려움을 겪기 시작하는 단원이다. 그렇기 때문에 학생들의 이해를 돕기 위해 수를 차례대로 나열하고 그 안에서 규칙성을 찾아내어 다음의 수를 유추해 보는 방식의 지도를 하게 된다. 이 과정에서 수열의 문제를 수의 규칙성에만 의존하는 문제해결을 하게 되면 수열을 일반화 시키는 데에 어려움을 겪게 되며 다음 단원인 여러 가지 수열이나 수열의 극한에서 또한 어려움을 겪게 된다.

기초학력 수준의 학생들은 수열 단원에서 필요한 여러 가지 선수학습이 되어 있지 않은 경우가 많은 것으로 보인다. 예를 들어, 등차중항을 이용해 식을 세웠지만 연립방정식을 풀지 못하는 경우가 있으므로 선수학습 내용에 대한 보완이 요구되고, 등차수열에서 문자의 도입으로 혼란을 느끼는 학생의 경우에는 문자의 경우도 숫자의 경우와 동일하게 공차가 적용된다는 것을 예로 들어 설명해 줄 필요가 있다. 즉 다양한 등차수열 속에서 등차중항의 의미 및 성질을 이해하도록 지도할 필요가 있다.

보통학력 수준 이상의 학생들에게서도 문제에 제시된 문자와 일반항을 구성하는 문자를 구분하지 못하여 쓰는 경우도 많이 나타나므로, 일반항과 합의 공식에 사용된 문자의 의미를 정확하게 이해할 수 있도록 하는 교수‧학습 방안이 요구된다.