2014년 국가수준 학업성취도 평가의 고등학교 수학과 서답형 문항에 대한 반응 분석¹⁾

이 문항은 수와 연산 영역의 명제와 조건에 관련된 문항으로 조건 p의 부정 〜 p의 진리집 합을 원소나열법으로 나타낼 수 있는지, 명제 〜 p → q가 참이 되도록 하는 특정한 자연수 n의 값을 구할 수 있는지를 알아보기 위하여 출제되었다. <표 3>은 서답형 2번 전체와 하위 문항별로 전체 집단이 보인 정답률과 변별도, 성취수준별 정답률, 부분 점수별 반응 분포를 나타낸 것이다.

<표 3>을 살펴보면 서답형 2번의 전체 정답률⁵⁾은 57.36%이고 변별도는 0.66으로 매우 높게 나타났다. 하지만 기초학력과 기초학력 이하 수준의 학생들의 정답률이 각각 8.29%, 4.14%로 나타난 것으로 보아 이 수준의 학생들이 해결하기에는 어려운 문항이라는 것을 알 수 있다.

이 문항은 기하 영역의 원의 접선의 방정식과 관련된 문항으로 두 점을 지나는 직선의 방정식과 원 위의 두 점에서 그은 접선의 방정식을 구할 수 있는지를 알아보기 위해 출제되었다. <표 4>는 서답형 4번 전체와 각 하위 문항별로 전체 집단이 보인 정답률과 변별도, 성취 수준별 정답률, 부분 점수별 반응 분포를 나타낸 것이다.

<표 4>를 살펴보면 서답형 4번의 전체정답률은 18.00%이고 변별도는 0.65으로 매우 높게 나타났다. 보통학력 이하 수준의 학생들의 전체 정답률이 5.72%로 나타난 것으로 보아 이 수준의 학생들이 해결하기에는 어려운 문항이라는 것을 알 수 있다.

서답형 2번과 4번의 하위 문항에 대한 분석은 다음 장에서 심층적으로 분석하고자 한다.

<표 5>에서는 서답형 2_(1)에 대한 학생의 답안 유형을 4개로 분류하여 제시하고, 각 유형의 도수 및 비율과 그 예를 제시하였다.

유형1은 정답 {3, 4, 5, 6}, {6, 5, 4, 3}과 같이 조건 p의 부정 〜 p의 진리집합을 옳게 나타낸 경우로 658개(52.81%)의 답지가 해당된다.

유형2는 조건 p의 부정 〜 p의 진리집합을 바르게 나타내지 못했지만 자연수로 집합의 원소를 나타낸 경우로 123개(9.87%)에 해당되는데, 네 가지 경우로 생각해 볼 수 있다. 첫째로 조건 p의 부정을 나타내는 데 부등호를 잘못 사용하여 3 < x < 6, 3 ≤ x < 6, 3 < x ≤ 6에 속하는 원소를 쓴 경우이다. 즉 조건 p의 부정의 의미를 어느 정도 알고 있지만 등호의 포함 여부에 대하여 확실하게 이해하지 못한 경우이다. 이와 같은 답안의 예로는 {4, 5}, {3, 4, 5}, {4, 5, 6} 이 있다. 둘째로 ‘x ≥ 3 또는 x > 6’, ‘x < 3 또는 x ≤ 6’에 속하는 원소를 쓴 경우이다. 이 경우는 ‘또는’의 부정이 ‘그리고’라는 것을 인지하지 못하고 부등호의 방향만 일부 변 환하여 그 조건에 맞는 원소를 구한 경우로 판단할 수 있다. 이와 같은 답안의 예로는 {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {2, 3, 4, 5}, {4, 5, 6, 7}가 등이 있다. 셋째로 x < 3 또는 x > 6을 적용한 경우이다. 이 유형은 조건 p의 부정을 이해하지 못하고 같은 것인 p로 판단하여 그 조건에 맞는 원소를 구한 경우이다. 이와 같이 생각한 답안의 예로는 {1, 2, 9, 12}, {1, 2, 7, 8} 등이 있다. 넷째로 조건 p의 부정에 속하는 원소를 자연수로 나타냈지만 무작위로 썼다고 판단되는 경우이다. 이와 같은 예로는 {3}, {3, 6, 9, 12}, {4, 8, 12, 16} 등이 있다.

유형3은 〜 p의 진리집합을 자연수로 나타내지 않은 경우로 26개(2.09%)에 해당되는데, 두 가지 경우로 살펴볼 수 있다. 첫째는 조건 〜 p의 진리집합을 0, 음수, 분수로 나타낸 경우이 다. 이와 같은 답안의 예로는 {0, 1, 2, 3}, {1, 0, 0, 1}, {−1, 0, 1, 2}, $\left\{4,5,\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right\}$ 등이 있다. 둘째는 집합의 원소를 숫자로 나타내지 않은 경우이다, 이와 같은 답안의 예로는 {x, x, x, x}, {x, 3, x, 6}, {3, 6, n, 3n}, {p, q, ~ p, ~ q}등이 있다.

유형4는 무응답인 경우로 439개(35.23%)의 답지가 해당된다.

정리하면 유형2에서 확인한 것처럼 적지 않은 학생들이 조건 p의 부정의 의미에 대하여 잘 이해하지 못하고 여러 가지 방식으로 옳지 않게 해석하는 것을 알 수 있다. 따라서 두 조건 p, q에 대하여 조건 ‘p 또는 q’와 조건 ‘p이고 q’의 부정을 가르칠 때, 단순하게 ‘<’의 부정은 ‘≥’, ‘또는’의 부정은 ‘그리고’라는 암기식 지도보다는 ‘집합’ 단원에서 배운 여집합과 드모르간의 법칙을 활용하거나 벤 다이어그램을 이용하여 조건의 부정의 의미를 직관적으로 확인할 수 있는 학습 기회를 제공할 필요가 있다. 또한 유형3과 유형4의 경우와 같이 전체집합, 조건, 조건의 부정, 진리집합의 의미에 관하여 전혀 이해하지 못하고 있는 학생의 경우에는 집합과 명제에 관련된 기본적인 용어의 의미에 대한 교육이 강조되어야 할 것으로 판단된다.

[그림 3]에서 왼쪽 그래프는 답안 유형에 대한 성취수준별 도수분포그래프이고, 오른쪽 그래프는 각 성취도 점수에 대하여 그 점수를 획득한 학생 수 전체에서 각 유형에 해당하는 학생 수가 차지하는 비율을 나타낸 그래프이다.

그림 3. 서답형 2_(1)에서 유형별 도수분포 및 비율 그래프

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[그림 3]을 유형별로 살펴보면, 유형1의 경우는 기초학력 상 수준의 학생을 다소 포함하였지만 주로 보통학력 수준 이상의 학생이 문제의 조건에 맞는 진리집합을 바르게 나타냈다고 볼 수 있다. 그리고 유형 2는 조건 p의 부정을 옳지 않게 판단한 경우로 주로 기초학력과 보통학력 수준의 학생에게서 이러한 현상이 집중되고 있다는 것을 알 수 있다. 또한 조건의 부정에 대한 의미를 전혀 이해하지 못하는 것으로 판단되는 유형3과 유형4의 경우에는 주로 보통학력 이하 수준에서 나타난다는 것을 알 수 있다.

<표 6>에서는 서답형 2_(2)에 대한 학생의 답안 유형을 4개로 분류하여 제시하고, 각 유형의 도수 및 비율과 예를 제시하고 있다

유형1은 명제 〜 p → q가 참이 되도록 하는 자연수 n의 값 2, 3을 옳게 나타낸 경우로 556개(44.62%)의 답지가 해당된다.

유형2는 명제 〜 p → q가 참이 되도록 하는 자연수 n의 값 중 하나 만을 옳게 쓴 경우로 123개(9.87%)에 해당되는데 두 가지 경우로 살펴볼 수 있다. 첫째로 n = 2만 옳게 쓴 경우로 123개 중 64개(52.03%)에 해당되고, 답안의 예로는 ‘n = 2, n = 4’, ‘n = 2, n = 7’, ‘n = 1, n = 2’ 등이 있다. 둘째로 n = 3만 옳게 쓴 경우로 123개 중 59개(47.97%)에 해당되고, 답안의 예로는 ‘n = 1, n = 3’, ‘n = 3, n = 4’, ‘n = 3, n = 9’등이 있다.

유형3은 명제 〜 p → q가 참이 되도록 하는 자연수 n의 값을 모두 잘못 쓴 경우로 121개 (9.71%)에 해당되는데 두 가지로 나누어 살펴본다. 첫째, n의 값을 자연수로 나타냈지만 모두 잘못 쓴 경우로 121개 중 93개(76.86%)에 해당되고, 그 예로는 ‘n = 1, n = 10’, ‘n = 10, n = 30’, ‘n = 4, n = 5’등이 있다. 둘째로 n의 값을 자연수로 나타내지 않은 경우로 121개 중 28개 (23.14%)에 해당되고, ‘n = 0, n = —1 ’, ‘n = 0.3, n = 5’, ‘n = 1, $n=\frac{4}{3}$’등을 예로 들 수 있다.

유형4는 무응답인 경우로 446개(35.79%)의 답지가 해당된다.

정리하면 유형2의 경우에는 명제 〜 p → q가 참이 되도록 하는 자연수 n의 값 중 하나만 옳게 쓴 경우로 학생들이 참이 되는 조건을 부분적으로 이해한 것으로 판단된다. 또한 유형3과 유형4의 경우에는 문제에서 제시하고 있는 명제의 의미, 명제가 참이 되기 위한 조건에 관해 전혀 이해하지 못하고 있는 것으로 나타났다. 따라서 ‘집합’에서 배운 내용을 바탕으로 명제 〜 p → q가 참이 되기 위한 두 조건의 ~p, q의 진리집합 P^C= {3,4, 5,6}, Q = {x|n ≤ x ≤ 3n}의 포함관계 P ⊂ Q에 대한 이해도를 제고할 수 있는 교수·학습 보완이 요구된다.

[그림 4]에서 왼쪽 그래프는 답안 유형에 대한 도수분포그래프이고, 오른쪽 그래프는 각 유형에 해당하는 학생 수가 차지하는 비율을 나타낸 그래프이다.

그림 4. 서답형 2_(2)에서 유형별 도수분포 및 비율 그래프

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[그림 4]를 유형별로 살펴보면, 유형1의 경우는 주로 보통학력 이상의 학생에 해당된다는 것을 알 수 있다. 그리고 유형2는 기초학력과 우수학력이 다소 있고 보통학력 수준 중심으로 분포되어 있다는 것을 알 수 있다. 하지만 유형3과 유형4는 기초학력과 보통학력 중심으로 분포 되어 있는 것으로 나타났다. 따라서 보통학력 이하 수준의 학생에게 명제의 의미와 더불어 명제가 참이 되기 위한 조건에 대한 풍부한 예를 제공하여 학생의 이해도를 제고할 필요가 있다.

<표 7>에서는 2_(1)번의 각 유형에 대하여 2_(2)번에서 어떠한 답을 하였는지의 비율을 나타내었다. 2_(2)번은 명제 〜 p → q가 참이 되도록 하는 자연수의 값을 구하는 문제로 2_(1)에서 묻고 있는 〜 p의 진리집합을 알아야만 해결할 수가 있다.

<표 7>의 내용을 살펴보면, 우선 서답형 2_(1)의 유형1에 해당하는 답안 658개 중 서답형 2_(2)의 유형1에 해당하는 답안은 518개(78.72%)로 나타났다. 즉 조건 p의 부정을 진리집합으로 옳게 나타난 학생의 78.72%가 명제가 참이 되도록 하는 자연수의 값 두 개를 모두 바르게 구한 것이다. 반면에 서답형 2_(2)의 유형3과 유형4에 해당하는 75개(11.40%)에 해당하는 답안의 경우에는 〜 p의 진리집합의 의미는 알고 있었지만 명제가 참이 되는 조건은 잘 이해하지 못하는 것으로 나타났다. 따라서 이 답안을 쓴 학생의 경우에는 명제의 의미, 명제가 참이 되기 위한 조건 등에 대한 학습이 보완되어야 할 것으로 보인다. 또한 서답형 2_(1)의 유형2와 같이 조건의 부정의 의미와 진리집합의 의미에 대한 이해는 부족했지만 자연수를 진리집합으로 제시한 답안의 경우에는 123개 중 60개(48.78%)의 답안이 서답형 2_(2)의 유형1과 유형2에 해당하는 것으로 나타났다. 하지만 문제의 조건을 제대로 이해하지 못하여 자연수가 아닌 수를 진리집합으로 나타났거나 무응답을 한 서답형 2_(1)의 유형3과 유형4에 해당하는 학생들은 2_(2)의 유형1과 유형2에 해당하는 비율이 상대적으로 낮게 나타난 것을 알 수 있다.

<표 8>에서는 서답형 4_(1)에 대한 학생의 답안 유형을 4개로 분류하여 제시하고, 각 유형의 도수 및 비율과 예를 제시하고 있다.

유형1은 문항에서 요구하고 있는 a의 값 5를 맞게 쓴 경우로 280개(22.47%)가 해당된다.

유형2는 문항에서 요구하고 있는 정답을 쓰지는 못했지만 양수로 나타낸 경우로 330개 (26.48%)가 있고, 답안의 예로는 a = 1, a = 2, $a=\frac{3}{4}$, a = 35, 2$\sqrt{2}$등이 있다. 특히 양수에서 5보다 작은 자연수를 쓴 경우는 330개 중 181개(54.85%)로 나타났다.

유형3은 a의 값을 음수로 나타낸 경우로 72개(5.78%)가 있고, 답안의 예로는 a = 0, a = —1, a = —6, a = —5, a = —7, 3 $\sqrt{10}$ 등이 있다.

유형4는 무응답으로 564개(45.26%)가 해당된다.

정리하면 유형2는 a의 값을 양수로 판단하여 쓴 경우로, 문제에 제시되어 있는 그래프의 개형과 세 점을 살펴보면 a의 값이 양수라는 것을 알고 있는 것으로 판단할 수 있다. 하지만 두 점을 지나는 직선의 기울기가 같다는 사실을 적용하는 계산 과정에서 오류가 있었던 것으로 추측할 수 있다. 따라서 같은 직선 위에 있는 세 점 중에서 어느 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구하더라도 언제나 같다는 것을 이용하여 a의 값을 구한 후 그래프의 개형에 적절한 a의 값인지를 검토하는 학습 습관을 강화할 필요가 있다. 또한 유형3의 경우는 문제에서 제시한 그래프의 개형과 세 점의 좌표를 이용하면 a의 값이 0또는 음수가 나올 수가 없는데도 불구하고 a의 값을 0 또는 음수로 나타낸 경우이다. 이는 문제의 조건을 잘 이용하지 못했거나 기울기를 구하는 방법을 인지하지 못했기 때문인 것으로 판단된다. 이에 일차함수 그래프인 직선의 기울기는 중학교 교육과정에서 이미 학습한 부분을 상기시키면서 점의 좌표가 문자로 표현되어 있더라도 기울기를 나타낼 수 있다는 것을 다양한 예를 통해 제시해줄 필요가 있다. 또한 문제를 해결할 때, 문제에 제시된 여러 가지 조건들을 종합적으로 파악하는 문제해결 전략도 활용할 수 있도록 문제해결 방법에 대한 교육도 강화할 필요가 있다.

[그림 6]에서 왼쪽 그래프는 답안 유형에 대한 도수분포그래프이고, 오른쪽 그래프는 각 유형에 해당하는 학생 수가 차지하는 비율을 나타낸 그래프이다.

그림 6. 서답형 4_(1)에서 유형별 도수분포 및 비율 그래프

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[그림 6]을 유형별로 살펴보면, 유형1의 경우는 주로 보통학력 이상의 학생에 해당된다는 것을 알 수 있다. 그리고 유형2, 유형3, 유형4은 기초학력과 우수학력이 다소 있고 보통학력 수준 중심으로 분포되어 있음을 알 수 있다. 즉 기초학력 이하의 거의 대부분의 학생들은 한 직선이 세 점을 동시에 지날 때, 세 점 중에서 임의의 두 점을 지나는 직선의 기울기가 같다는 23 것을 이용하여 $\frac{2}{a-1}=\frac{3}{a+1}$의 식을 세우지 못한 것으로 판단된다. 또한 보통학력에서는 유형1부터 유형4까지 다양하게 분포되어 있는 것으로 나타나 기울기의 의미에 대한 이해와 더불어 두 점의 좌표가 있을 때 기울기를 구하는 방법과 계산 과정에서의 오류 예방을 통해 학력 수준을 제고할 필요가 있다.

<표 9>에서는 서답형 4_(2)에 대한 학생의 답안 유형을 4개로 분류하여 제시하고, 각 유형의 도수 및 비율과 예를 제시하고 있다.

유형1은 직선 l의 방정식을 y = mx + n을 구해 $m=\frac{1}{2},$ , $n=\frac{5}{2},$의 값을 옳게 쓴 경우로 모두 233개(18.70%)의 답안이 해당된다.

유형2는 직선 l의 방정식을 y = mx + n을 옳게 구하지 못했지만 m > 0, n > 0인 경우로 51 282개(22.63%)의 답안이 해당되며 그 예로는 ‘m = 1, n = 2 ’, ‘m = 3, $n=\frac{5}{2},$’, ‘$m=\frac{1}{2},$, $n=2\sqrt{2}$’ 등이 있다.

유형3은 문제에서 제시한 그래프의 개형에 맞지 않게 m, n의 값을 쓴 경우로 113개(9.07%)의 답안이 해당되며, 네 가지로 나누어 설명할 수 있다. 첫째는 m > 0, n < 0인 경우로 113개 중 23개(20.35%)의 답안이 해당되며 그 예로는 ‘m = 5, n = —10 ’, ‘$m=\frac{1}{4}$, $n=-\frac{1}{2}$’, ‘m = 2, m = 2, n = —1 ’ 등이 있다. 둘째는 m < 0, n > 0인 경우로 113개 중 35개(30.97%)의 답안이 해당되며 ‘m = —1, n = 2 ’, ‘ $m=-\frac{1}{2}$, $n=\frac{5}{2}$’, ‘$m=-\frac{10}{7}$, $n=\frac{18}{7}$’ 등이 있다. 셋째는 m < n < 0인 경우로 113개 중 6개(5.31%)의 답안이 해당되며 그 예로는 ‘$m=-\frac{7}{2}$, $n=-\frac{3}{2}$ ’, ‘m = —3, n = —1 ’, ‘m = —2.5, n = —5’등이 있다. 넷째로 0을 포함한 m, n값을 쓰거나 문자와 같은 의미 없는 답을 쓴 경우로 113개 중 39개(34.51%)의 답안이 해당되며 그 예로는 ‘m = 0, n = —1 ’, ‘m = x, n = y’, ‘m = x + 1, n = x + 1’등이 있다.

유형4는 무응답으로 618개(49.60%)가 해당된다.

정리하면 유형2는 4_(1) 문항에서 잘못 구한 a의 값을 적용하여 직선의 방정식을 구한 경우와 a의 값은 잘 구했지만 직선의 방정식을 구하는 과정에서 오류가 있는 경우로 나눌 수 있다. 이 경우는 문제에서 제시된 일차함수 그래프의 기울기와 y절편의 부호는 일치하지만 값이 다른 경우로 직선의 방정식을 구해 시도한 경우로 추론할 수 있다. 따라서 이 경우에 해당하는 학생에게는 두 점의 좌표가 제시되어 있을 때 기울기와 y절편을 이용해 직선의 방정식을 구하는 방법에 대한 교수·학습이 강화되어야 할 것으로 보인다. 유형3의 경우에는 문제에서 제시된 일차함수 그래프인 직선에서 판단할 수 있는 기울기나 y절편의 부호와 다른 부호의 값을 구한 경우로 일차함수 그래프의 성질에 대한 이해가 부족하다는 것을 알 수 있다. 따라서 이 경우에 해당하는 학생에게는 중학교에서 배운 일차함수 그래프를 다양하게 탐구할 수 있는 기회를 제공하여 일차함수 그래프의 성질에 대한 이해도를 제고할 필요가 있다.

[그림 7]기에서 왼쪽 그래프는 답안 유형에 대한 도수분포그래프이고, 오른쪽 그래프는 각 유형에 해당하는 학생 수가 차지하는 비율을 나타낸 그래프이다.

그림 7. 서답형 4_(1)에서 유형별 도수분포 및 비율 그래프

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[그림 7] 기을 유형별로 살펴보면, 유형1은 서답형 4_(1)의 유형의 경우와 마찬가지로 학생 수가 보통학력 중 수준 이상의 수준에 치우쳐 있는 것으로 보아 보통학력 하 수준 이하는 이 문항을 잘 해결하지 못했다는 것을 알 수 있다. 유형2, 유형3, 유형4는 보통학력을 중심으로 좌우대칭 형태로 분포되어 있고, 백분율 그래프를 보면 우수학력 중 수준 이하의 경우에도 이 유형들이 다소 분포되어 있는 것으로 보아 전체적으로 좌표가 문자로 주어졌을 때, 기울기와 직선의 방정식을 구하는 방법에 대한 교수·학습 보완이 필요하다.

<표 10>에서는 4_(1)번의 각 유형에 대하여 4_(2)번에서 어떠한 답을 하였는지의 비율을 나타내었다. 4_(2)번은 직선 l의 방정식을 구하는 문제로 4_(1)번에서 a의 값을 구해야만 효과적으로 해결할 수 있다.

<표 10>의 내용을 살펴보면, 우선 서답형 4_(1)의 유형1에 해당하는 답안 280개 중 서답형 4_(2)의 유형1에 해당하는 답안은 220개(78.57%)로 나타났다. 즉 두 점의 좌표에서 제시된 a의 값을 옳게 구한 학생의 78.57%가 문제에서 제시된 좌표를 이용하여 직선의 방정식을 바르게 구한 것으로 볼 수 있다. 반면에 서답형 4_(2)의 유형2, 유형3, 유형4에 해당하는 60개 (21.43%)에 해당하는 답안의 경우에는 a의 값은 옳게 구했지만 직선의 방정식을 구하는 방법은 잘 이해하지 못하는 것으로 나타났다. 따라서 이 답안을 쓴 학생의 경우에는 두 점의 좌표를 이용해 직선의 방정식을 구하는 방법에 대한 학습이 보완되어야 할 것으로 판단된다. 그리고 4_(1)에서 문제에서 제시한 그래프의 개형에 맞게 a의 값을 양수로 나타낸 유형2의 경우 에는 직선의 방정식을 구하지는 못했지만 m, n의 값을 모두 양수로 나타낸 4_(2)의 유형2의 경우가 330개의 답안 중 214개(64.85%)로 다른 유형보다 상당히 높게 나타났다. 이러한 사실은 문제에서 제시한 그래프의 개형에서 기울기와 y절편의 값이 양수라는 사실은 어느 정도 인지하고 있다는 것으로 추론할 수 있다. 하지만 문제의 조건을 제대로 이해하지 못하여 a의 값을 양수가 아닌 다른 수로 나타낸 4_(1)의 유형3과 유형4의 경우에는 4_(2)의 유형1과 유형 2에 해당하는 비율이 상대적으로 낮게 나타난 것을 알 수 있다.

4_(3) 문항은 4_(1)과 4_(2)를 바르게 풀어야만 해결할 수 있는 문항이다. 직선 l의 방정식을 알아야만 원과 만나는 두 점의 좌표를 구할 수 있기 때문에, 직선의 방정식을 구하지 못한 학생은 이 문항을 해결하는 것이 어렵다. 실제로 4_(2)를 해결한 답안의 개수는 233개 (18.70%)이었지만 4_(3)을 해결한 답안의 개수는 87개(6.98%)로 나타나 11.72%p 정도 차이가 났다는 것은 학생들이 접선의 방정식을 구하는 문항을 어려워했다는 것을 알 수 있다.

<표 11>에서는 서답형 4_(3)에 대한 학생의 답안 유형을 5개로 분류하여 제시하고, 각 유형의 도수 및 비율과 예를 제시하고 있다.

유형1은 직선 l과 원 O는 서로 다른 두 점에서 만날 때, 이 두 점에서 원 O에 접하는 접선의 방정식을 모두 옳게 구한 경우로 86개(6.98%)의 답안이 해당된다. 이 답안의 예로는 ax + by = c, ax + by + c = 0, y = ax + b의 세 가지 유형으로 ‘x + 3y = 10, — 3x + y = 10’, ‘x + 3y — 10 = 0, 3x — y + 10 = 0’, ‘y = 3x + 10, $y=-\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}$,가 있다. 학생들이 가장 33 선호하는 직선의 방정식 유형으로는 y = ax + b의 유형으로 전체 86개 중 43개(50%)로 나타 났다. 그 이유는 중학교 교육과정에서 배운 직선의 방정식 유형의 영향을 받아 y에 관한 식으로 변형하는 것이 익숙하기 때문인 것으로 판단된다.

유형2는 두 개의 접선의 방정식 중 하나만 옳게 쓴 경우로 20개(1.61%)의 답안이 해당되며, 그 예로는 ‘3x — y + 10 = 0, 3x + y — 10 = 0’, ‘y = 3x + 10, $y=\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}$ ,등이 있다. 유형2의 답안을 분석한 결과 y = 3x + 10이나 3x — y + 10 = 0만을 옳게 쓴 답안이 20개 중 13개 (65%), $y=-\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}$이나 x + 3y = 10만을 옳게 쓴 답안이 7개(35%)로 나타났다. 이와 33 같이 두 개의 접선의 방정식 중 한 개만을 옳게 쓴 이유는 접선의 방정식을 구하는 과정에서의 계산 오류로 판단된다.

유형3은 접선의 방정식을 옳게 표현하지 못했지만 직선의 방정식 형태로 나타난 경우로 83 개(6.66%)의 답지가 해당되며, 그 예로는 ‘y = 3x + 1, y = 3x — 1’, ‘$y=\frac{1}{4}x+2$, y = 2x + 3’, ‘x + y — 6 = 0, x + y + 8 = 0’, y = —2x + 10, $y=-2x+\frac{5}{2}$’ 등이 있다.

유형4는 접선의 방정식을 직선의 방정식의 형태로 나타내지 못한 경우로 124개(9.95%)의 답지가 해당되며 두 가지로 나누어 살펴본다. 첫째는 일차다항식의 형태로 나타낸 경우로 124개 중 9개(7.26%)의 답안이 해당되며 그 예로는 ‘2x + y, x + 2y’, ‘$-\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}$, $3x+\frac{5}{2}$,’ ‘5x + 15, x — 1 ’ 등이 있다. 둘째는 직선의 방정식이나 일차다항식이 아닌 기타의 경우로 124개 중 115개 (92.74%)의 답안이 해당된다. 그 예로는 ‘x² + y² = 10, x² + y² = 8’, ‘(1, 3), (1, 5)’, ‘10, $\sqrt{2}$’ 등이 있다.

유형5는 무응답으로 933개(74.88%)가 해당된다.

정리하면 서답형4_(3)은 원 x² + y² = r² 위의 점(x₁, y₁)에서 그은 접선의 방정식은 x₁x + y₁y = r² 이라는 것을 이용하면 효과적으로 해결할 수 있는 문항이다. 하지만 유형1과 유형2를 제외한 1,140개(91.49%)의 답안을 작성한 학생들은 원 위의 점에서 그은 접선의 방정식을 구하는 방법에 대해 잘 이해하고 있지 못하다는 것을 알 수 있다. 특히, 유형4와 같이 접선의 방정식을 직선의 방정식의 형태로 쓰지 않은 학생의 경우에는 중학교 교육과정에서 배운 일차함수 그래프의 성질에 대한 학습 기회의 제공과 더불어 접선의 방정식과 일차함수 그래프의 관계에 대한 이해를 제고시키는 교수·학습 활동이 요구된다.

[그림 8]에서 왼쪽 그래프는 답지 유형에 대한 도수분포그래프이고, 오른쪽 그래프는 각 유형에 해당하는 학생 수가 차지하는 비율을 나타낸 그래프이다. 서답형 4_(3)에서 제시한 그래프에서는 유형5에 해당하는 무응답 반응의 인원수가 차지하는 비율이 74.88%로 상당히 높고 다른 반응 유형의 인원수가 차지하는 비율이 낮은 이유로 유형5의 내용을 그래프에서 제외하였다.

그림 8. 서답형 4_(3)에서 유형별 도수분포 및 비율 그래프

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[그림 8]을 유형별로 살펴보면, 유형1의 경우는 우수학력 이상의 학생에 해당되고, 유형2의 경우는 보통학력 상 수준 이상의 학생이 주로 나타낸 유형으로 볼 수 있다. 그리고 유형3의 경우는 보통학력 이상 학생에게 주로 나타난 유형으로 접선의 방정식이 일차함수의 그래프라는 사실을 어느 정도 인지하고 있는 것으로 파악된다. 또한 유형4의 경우는 보통학력을 중심으로 하는 좌우대칭인 형태로 모든 학력 수준에 폭넓게 분포되어 있는 것을 알 수 있다. 이는 전체적으로 원의 접선의 방정식을 구하는 문제를 어려워하는 것으로 판단이 돼, 직선의 방정식과 원의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구하는 방법과 원 위의 점에서 그은 접선의 방정식을 효과적으로 구하는 방법에 대한 다양한 교수·학습 방법이 요구된다.

<표 12>에서는 4_(2)번의 각 유형에 대하여 4_(3)번에서 어떠한 답을 하였는지의 비율을 나타내었다. 4_(3)번은 접선의 방정식을 구하는 문제로 4_(2)번에서 물은 직선의 방정식을 바르게 구해야만 해결할 수 있다. 여기에서는 4_(2)의 유형1과 유형2에 대해서만 연계해서 분석 하고자 한다.

<표 12>의 내용을 살펴보면, 우선 서답형 4_(2)의 유형1에 해당하는 답안 233개 중 서답형 4_(3)의 유형1과 유형2에 해당하는 답안은 102개(43.78%)로 나타났다. 즉 직선의 방정식은 바르게 구한 학생이 직선과 원의 두 교점에서 그은 접선의 방정식 두 개를 정확하게 구했거나 접선의 방정식 한 개만을 정확하게 구한 경우이다. 반면에 직선의 방정식은 바르게 구했지만 접선의 방정식을 구하지 못한 학생이 233개의 답안 중 131개(56.21%)로 나타나, 이와 같은 반응을 보인 학생의 경우에는 두 개의 방정식을 이용하여 교점의 좌표를 구하는 방법과 접선의 방정식을 구하는 방법에 대한 지도가 강화되어야 할 것으로 판단된다.

또한 4_(2)의 유형2의 경우에는 직선의 방정식을 구하지 못한 경우로 4_(3)의 경우도 이를 반영하여 282개의 답안 중 280개(99.29%)의 답안이 유형3, 유형4, 유형5에 속해 접선의 방정식을 전혀 구하지 못하는 것으로 나타났다. 즉 원의 접선의 방정식을 학습하기 이전에 학생들이 중학교 교육과정에서 배운 일차함수 그래프의 성질에 대한 이해가 제대로 되었는지를 확인하여 이해도가 부족한 학생에게는 이를 보충할 수 있는 학습 기회를 부여해야 할 것이다.